SÉANCE Uf iS JUILLET Ujio. 20 i 



V Àltseitige Erreichbarkcil de VI. Sdiu-iillies. Ceci est d'ailleuis plus secoii- 

 (lairc, les ensembles non complèleniei»t fermés mérilant une étude appro- 

 fondie. 



Jajoule enfin quunc Jéi,^ère restriclion esl éjj;-aleiiienl nécessaire pour 

 1 exactitude du lliéorrnie : la frontière d'un domaine esl la somme de deux 

 continus ayant deux points en commun seulemenl. 



ANALYSE MATHÉMATIQLE. — Sur une équation. diJferenlieUe du Uoisièine 

 ordre (jui a ses points critiques fixes. Note ( ' ) de M. Jean Cuaxv, 

 présentée par M. Painlevé. 



Dans les Comptes rendus du 14 juin 1909, j'ai signalé l'équation diflé- 

 rentielle du troisième ordre E délinie comme il suit. Elle est de la forme 



„_ V ir'—o')(y"—a") 



A(.v — 'l' l'-H H(j — ^/'\- — C (,)■'— "') 



.^iiLL 



-^ D )'■ -(- Ev' -H F + G7 4- tty- 



les fondions a sont au nombre de si\; les fonctions a, A, L>, G, D, E, F, 

 (i, H satisfont au système d'équations algébriques et dillerentielles obtenu 

 en exprimant d'une pari que la valeur y = =c est régulière, el d'autre part 

 qu il existe des intégrales ayant en un point arbitraire j:^,, la valeur singulière 

 a{x„) et admettant au voisinage le développement bolomorplie 



y =: a{.r,) 4-«( j: — .r„) + ^ (.r — x,)^ + 7 (x - ,/■„)» -1- . . . . , 



dans lequel les coefficients y. et -■ sont arbitraires, .l'ai monlré récemment 

 que les intégrales de l'équatio/i K n'ont pas d'autres points singuliers mobiles 

 (j lie des pôles. La méthode (juc j'emploie esl une extension .de celle que 

 \I. Painlevé a constituée pour les équations à points critiques fixes irréduc- 

 tibles du second ordre. On sait d'ailleurs que les intégrales d'équations 

 classiques du troisième ordre j)Ossèdent des coupures mobiles, ou des 

 ensf'nibles parfaits discontinus de points singuliers mobiles, et que notre 

 démonstration est essentielle. 



Soit l'intégrale définie parles conditions initiales arbitraires a-„.Tu,v'^,r„; 

 supposons que sur le chemin /de longueur finie, partant de x^ et ahoutis- 



(') Présentée dans la séance du 11 juiili'i 1910. 



