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sant en x,, el ne contenant aucun point singulier des coefficients de l'équa- 

 tion, cette intégrale soit méroniorphe, sauf on a-, . ^ 



Il résulte du théorème de M. Poincaré, qui exprime la continuité des 

 intégrales d'un système différentiel en fonction des conditions initiales, que 

 l'on peut déformer le chemin / de façon que toutes ses propriétés soient 

 conservées, et que, de plus, le point j ne pénètre pas dans un cercle de son 

 plan, de centre arbitraire [différent des points a(x,), et peut-être d'un 

 autre pointj et de rayon suffisamment petit. Comme une transformation 

 homographique effectuée sur y ne change pas la forme de l'équation K, 

 nous pouvons supposer que sur le chemin l, y est borné. 



Considérons les deux expressions 



^'^ "'- lUy-a) ' '■- Illv-a) ' 



dans lesquelles P et () désignent deux polynômes du quatrième degré en v 

 dont le jacobien est n(j — a), et K, S, T, Wdespolynomes du cinquième 

 degré en y tels que a et r prennent en un point arbitraire œ des valeurs 

 arbitraires, quand on remplace j par une intégrale de l'équation K ayant en 

 ce point l'une des valeurs singulières a(œ'). 



S'il existe sur le chemin /, aussi près que l'on veut de .r,, des points où u 

 et V sont bornés, y' et y" sont aussi bornés en ces points d'après les équa- 

 tions (i). Si, en certains d'entre eux, les modules | v — «(•<?)! sont supé- 

 rieurs à un nombre positif fixe, d'après le théorème de Cauchy l'intégrale 

 considérée de l'équation {E) est holomorphe en .r,: Si en certains de ces 

 [)oints la quantité y — a(x) est arbitrairement petite, comme le système 

 différentiel que vérifient les trois fonctions y, y', u est régulier au voisinage 

 de y = a(x), l'intégrale j'(a?) est encore holomorphe en x,, d'après le 

 théorème de Cauchy. 



Supposons que le module maximum de u et c tende vers l'infini, quand x 



u' 

 tend vers ic, sur le chemin /. L'expression de la dérivée logarithmique — 



en fonction de j, u, v montre que cette dérivée logarithmique est bornée 



aux points où — est lui-même borné. Si - finit par être borné, // et par 



suite V sont bornés ; il en est de même si -;• finit par être borné. Il faut donc 



admettre que sur le chemin / il y a une infinité de segments sur chacun 



• desquels - passe de la valeur A à la valeur B, sans sortir de l'inlervalle 



