Il 



est aussi petite qii on veut; 



SÉANCE DU iH JUILLET 1910. 2o5 



A — B, A et 13 désignant deux nombres positifs; or, sur ces segments, les 

 dérivées logarithmiques " , - sont bornées, la longueur de chacun d'eux 



s'écarte donc aussi peu qu'on veut de la 



valeur initiale A, et ne saurait atteindre la valeur B. Cette dernière hypo- 

 thèse est absurde. 



Je n'ai pas achevé l'intégration du système différentiel qui définit les 

 coefficients de l'équation (E). J'ai montré toutefois que ces coefficients 

 dépendent de six paramètres, et que l'équation (E) admet comme dégéné- 

 rescence une équation dont les coefficients dépendent de trois paramètres, 

 et qui se déduit de l'équation à points critiques fixes irréductible du second 

 ordre la plus générale que l'on connaît, par élimination de l'un des quatre 

 paramètres. 11 résulte que les intégrales de l'équation (E) sont des transcen- 

 dantes nouvelles, mais deux cas sont encore possibles : ou bien ces trans- 

 cendantes peuvent être définies par une équation irréductible du second 

 ordre, ou plus probablement elles ne peuvent être définies par aucune 

 équation plus simple que l'équation du troisième ordre (E). 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une classe d'équations différentielles dont 

 les intégrales générales ont leurs points critiques fixes. Note (' ) de M. René 

 Garmer, présentée par M. Painlevé. 



Considérons une équation diflérenlielle linéaire du second ordre, à 

 coefficients rationnels, que nous pouvons supposer réduite à la forme 



et proposons-nous de déterminer p{oc) de façon que l'équation admette un 

 groupe donné. C'est le problème que Riemann a résolu pour l'équation 

 hypergéométrique de Cîauss, qui a été repris par MM. Ililltert ( -) ( dans le 

 cas du second ordre) et Plemelj ( ') (dans le cas d'un système linéaire 

 d'ordre quelconque) à l'aide de la théorie des équations de Fredholm, et 

 dont M. Schlesinger (^) a abordé l'étude par la méthode donnée par 



(') Présentée dans la séance du 1 1 juillet 1910. 

 (') Nachr. der kôn Gesells. der Wiss. zu Gôlt.. 190.5, p. 33o-335. 

 (*) Monatah. fiir Math, and Phys., t. \l\, p. 211. 



(*) Vorlesungen iibcr lineare iJifferentialgleicliungen, l^eipzig et licrlin, 190S. 

 Voir aussi le Jahresb. dt-r rlciit. Math. Verein., t. X\ III, p. i5, 21, 34o. 



