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ACADEMIE DES SCIENCES. 



M. Poincaré pour ies équations fuclisiennes. Je vais montrer dans^ cette 



Note comment le problème se rattache à la tliéorie f^cnéralc des fonctions 

 analyticpies et des équations dilYérentielles à points critiques fixes. 



Soit « + 2 le nombre des substitutions fondamentales du groupe donné 

 ((!„). L'équation doit posséder n-^'i points essentiellement singuliers, 

 G, I, /,, ^2, . . . , /„, que nous supposerons réguliers, et donnes indépendam- 

 ment de ((i,,^ ; par suite, il existe en outre n points apparemment singuliers, 

 A, , A^, . . . , A„. L'équation est alors de la forme 



n 



V 



^^ 

 II 



_v 



.r{.i- — i) 



Ci 



y-, 



(X — t,)'- .^■(.;•— i).(.f — tj.) 



4('''-/.y)- .r(,r-.)(j-- A,,) 



où les coefficients Cj sont indépendants des t^. 11 s'agit de déterminer les 

 fonctions a/;, [3/,, A^. des paramètres t, de telle sorte que le groupe de (E„) 

 soit indépendant des /,. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit (' ) qu'on 

 puisse adjoindre à (E„) un système 



{e„) 





où A,- et B, sont rationnels en .r, de telle sorte que le système (E„, e„ ) soit 

 complètement intégrable. Pour cela, il est nécessaire et suffisant que l'e 

 système 



dtj ^■' Or ()(, ' Ox ' 



<M',, , (/P., ôp „ dp 



0.r' ^' âx âx ' ,)t, 



soit vérifié pour 

 en posant 



B,==- 



Mt^ 



(-r) 



o'{li) {X-'1,)-1(X) 



(') L. Fucus, Sitzb. der Beil. Ak., 1888-1898. ( I. a bibliographie détaillée se trouve 

 dans le travail cité plus loin de M. R. Fuchs.) 



