SÉANCE DU iH JLILLEÏ I9I0. 207 



el en convenant de prendre /„+, = o, /„+..= i. <-)n trouve en développant 

 cette condition (jne les a^. et <^^ s'expriment rationnellement en /„ kj et '-j^ 

 et que les X;^ vérifient le système snivant : 



o'di) àh _ 9'ih) àh „ ^ - 'y 90-1.) ,,■ ■ /.^ , „ „) 



^ " ' (i/,- "~ 2 I. ( ).A. ) ^* ( >./, ) J V di, I -At,) 'lA. li ) ! f)(, 



i'v ' ■■^Oi.'^'^ii.Oj^Oj—t')- ■ / ^' 

 "^ o ^ 9 ( /., ) ■},, f "/.,)( >., — )' 1,-1 J \ ât, , 



7=1 



1 = 11 







[; 



I 



;=i ;-i 



(/. /. — (. ! /O. 



OÙ l'on a posé IaI t) = (a:' — 't^kY ' 'K"*') ^' o"^' l'indice (jui affecte les signes ï 

 signifie que la sommation s'étend à toutes les valeurs que peut prendre y, 

 sauf celle de l'indice ( ' ). 



(Je système est complètenjenl inlégrable et sa solution dépend de 2/1 con- 

 stantes arbitraires. En m appuyant sur les travaux de M. Painlevé, je dé- 

 montre que les comlnnaisons symétriques a,,, = SX/, cr„., = Z'Aj'/,j, .. . , consi- 

 dérées comme fondions de /,, ont leurs points critiques Jixes : elles son t par ton t 

 méromorp/tes, sauf pour /,= o. i ,/,,... , /,_, , /,+ , , • . • , /,,. 



Ce résultat entraîne une conséquence importante : les fonctions cr,,,, con- 

 sidérées comme fonctions des constantes d'intégration, ont leurs singula- 

 rités (non algébriques) fixes (c'est-à-dire indépendantes des /,), ce qui 

 permet de démontrer qu'à tout groupe G„ el à tout ensemble de n -+- 1 points 

 essentiellement singuliers donnés indépendamment répond une équation 

 linéaire de second ordre. 



De plus, remplaçons /, par a, -1- £/, (où a, est constant) et faisons tendre i 

 vers zéro. Le système ainsi déduit de (/„, F„) s'intègre de la façon sui- 

 vante : 



Posons V(.i:)=zx(x — i}{x - o, ) . . . ( jc — a„)(A„_,a;"-' -i-. . .-4- A„ 1 où 



(') L'équation (F„) a élé donnée pr.jcédeniinenl pat M. Hicliaril Iniclis {(Jomptes 

 rendus. 1906}. 



