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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur un problème d'Abel. Note 

 de M. Paul Dienes, présentée par M. Emile Picard. 



1. Il y a presque un siècle qu'Abel, après avoir établi le théorème bien 

 connu sur la série de Taylor convergente en un point de son cercle de 

 convergence, a posé le problème de déterminer la valeur limite de la 

 fonction en un point du cercle où la série de Taylor diverge. 



Des réponses partielles ont été données à cette question, sous sa forme 

 originelle, par MM. Hadamard et Borel qui ont formé des expressions assez 

 simples à l'aide des coefficients tayloriens pour représenter la valeur de la 

 fonction en chaque point régulier du cercle. 



Dans cette direction MM. Borel, Miltag-Leffler et Painlevé, établissant 

 des développements en polynômes ou en fonctions entières, ont poussé très 

 loin la solution, sans toutefois s'affranchir de l'hypothèse de la régularité. 

 Cependant, la dernière restriction est essentielle au point de vue abélien, 

 car, à cause de cette hypothèse, dans l'application des résultats indiqués, 

 on doit savoir à l'avance si, au point envisagé, la fonction est régulière ou 

 non, tandis que le problème consiste plutôt dans la recherche d'un tel 

 critère. 



2. Nous ne croyons donc j)as faire un travail inutile en montrant que ces 

 mêmes développements permettent de donner une réponse suffisamment 

 complète à une question dont le problème d'Abel n'est qu'un cas très 

 particulier. 



Pour simplifier l'énoncé de nos résultats, nous introduisons l'expression 

 voisinage angulaire du rayon (O, X„) pour désigner la partie la plus proche 

 de .fo, d'un angle arbitrairement petit ayant le sommet a-y symétrique par 

 rapport au rayon (O, X„) et contenant l'origine à son intérieur. 



Prenons maintenant la représentation des fonctions analytiques donnée 

 par M. Mittag-Leffler ( ' ), 



qui nous donne la valeur de la fonction dans le domaine A'*' dont la limite, 

 pour a == o, est l'étoile principale; et remplaçons x par l'affixe, .'-„, d'un 

 soMiniet (le l'étoile. 



{') MiTTAG-LKh'FLEK, Sur la représentation analytique d'une brandie uniforme 

 d'une fonction monogène (troisième Note) (Ac/a mat/iematlca, t. XXIN , p. 23o). 



