SÉANCE UU 2') JUILLET 1910. ÏqS 



Quelles relations subsistent entre la suite 



S„(.r„,!>:)=:Go(.r„. o.) -\-G^(x„. 7.) -H. . . + C,„{.r„. a) (/( =0, 1, a, . . . , oc ) 



pt l'allure de la fonction au point x„ (' )? 



l'iii.diiKMK I. — La condition nécessaire et sujjisanle /)<)ur que la fonction 

 ait une limite bien déterminée f(T^), quand on s'approche du point .t„, au 

 voisinage angulaire du rayon (O, .r„), est que^ a étant suf/isamment petit, les 

 moyennes arithmétiques des S„(r„, a) aient une limite pour n ::= yt et dans ce 

 cas la dernière limite est égale à f{x„y 



On voll immédiatemenl que ce lliéorème permet de donner une réponse 

 précise ;i la question soulevée par Ahel. 1mi ellel, dans le cas où, au poinl-ry 

 du cercle de convergence, la série de Taylor diverge, on forme les 

 expressions 



S„f.r,„ z) +. . .+ S„(.r,„ a) 

 ^„ {■'-.. y.) ^ ^^^^ , 



si, pour oc assez petit, ces expressions ont une limite, la fonction a la même 

 limite au voisinage du rayon (O, .r„); si ces expressions n'ont pas de limite, 

 quelque petit (juc soil y., la fonction est indéterminée au voisinage 

 envisagé. 



li. Théorème \\. — La condition nécessaire et suffisante pour que la fonction 

 soit bornée (et indéterminée) au voisinage angulaire du rayon ((),a;„), 

 (c'est-à-dire dans un angle assez petit ), est que la suite 



I 7„(-'-o. a)| (« =0, 1. 2, . . ., oc), 



soit bornée (et indéterminée )/Jowr y. asse: petit. 



TiiKOUÈME III. — La condition nécessaire et suffisante pour que la fonction 

 soit holomorphe au voisinage angulaire du rayon (O, x^), c'est-à-dire que le 

 point x„ soil le seul point singulier à ce voisinage), est que 



lirn Slip. V I 5'„(./o- 3! ) i = 1 . 



pour a assez petit. 



Théorkme \\ . — La condition nécessaire et suffisante pour que la fonction 



(') Pall Dienes, Essai sur les singularités des fondions onu/ylit/iies (Journal de 

 jUatticmalci^ues, 1909, p. 390). 



