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holomorplie au voisinage angulaire du rayon ( O, x^), devienne infinie au 

 point Xg, est que, pour a quelconque, 



lini sup.| (T„(Xo. a)| = ^1 



et que, pour a assez petit 



lim sup. I i7„(.i'o. 3«) I ^= '■ 



L'hypothèse que la fonction soit holomorphe au voisinage considéré est 

 nécessaire pour écarter l'effet des autres singularités possibles. On pourrait 

 dire que la fonction devient infinie exclusivement à cause de la singularité 

 au point a-j,. 



ÏHÉouÈME ^ . — La condition nécessaire et suffisante pour que la fonction 

 ait une infinité de points singuliers au voisinage angulaire du rayon (O, a7„}, 

 est que, pour % quelconque 



lim sup. v^l ff«l-»o, ^)l > ' ■ 



Avec ce théorème nous avons le premier critère, à ce qu'il me semble, pour 

 établir, en parlant de la série de Taylor, l'existence d'une infinité de points 

 singuliers au voisinage d'un point. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la théorie des ensembles. Note 

 de M. Etienne Mazurkiewicz, présentée par M. Appell. 



TiŒOKÈ.Mi:. — Soit V. un continu, p et q deux de ses points; il existe au 

 moins un continu irréductible {' )pq, sous ensemble de G. 



M. Janiszewski a énoncé et démontré ce théorème à l'aide de la théorie 

 des nombres transfinis (^). Mon but consiste à le démontrer sans faire usage 

 de cette théorie. 



Pour simplifier le langage, je vais me restreindre aux ensembles situés 

 sur le plan. 



J'appelle ensemble K(a, b) tout ensemble de points possédant les pro- 

 priétés suivantes : (i) il est fermé, (2) il est situé entièrement dans le fini, 



(') Four la iléfinition du conliiui irréduclil)le, voir Zoretti. Ann. Ec. A'orm., 

 l. XWII, p. 487. 



(2) Voir Comptes rendus, t. I.ÏO, p. 606 el t. 151 (semaine précédente). 



