SÉANCE DU 25 JUILLET I910, 297 



(3) il contient les points a et b, (4) il est impossible de le décomposer en 

 deux ensembles fermés sans point commun, dont l'un contiendrait a, 

 l'autre b. 



Lemme I. — Soit A ,, A.,, . . . , une suite infinie d' ensembles K(a, /^), dont 

 chaque précèdent contient le suivant : 



l'ensemble A„^D(A,, A.,, . ..) est un K.(^a, b). 



Au, possède certainement les propriétés (i), (2) et (3). S'il ne possédait 

 pas la quatrième, on le décomposerait en deux ensembles fermés sans point 

 commun, dont l'un (B,) contiendrait a, l'autre [(Bj) b. Soit 2£ la dis- 

 tance de B, à Bo. Construisons une figure polygonale Y, approximant B, 

 de £ près ( ' ). Sur Y même^ il n'y aura aucun point de B, ni de \i, ; par suite, 

 aucun point de A». Soit ]\., l'ensemble de points de A^ (v quelconque) 

 situés à l'extérieur de Y. Comme A„ est un K(a, //) et, comme \{., contient b 

 .et ne contient pas a, lîv ne peut être fermé et possède, par suite, des 

 points-limites sur F; désignons leur ensemble par L.,. On a L, ^A,, de 

 plus Lv est fermé et L.;+, < i^,, donc D(L,, L., . . .) contient au moins un 

 point. Ce dernier appartient à A„, donc A^i possède un point sur Y. L'hypo- 

 thèse que Au n'est pas un K(a, b) implique une contradiction. Un 

 ensemble K(a, b) sera dit irréductible s'il ne contient aucun sous- 

 ensemble K(a, b). 



Lemme IL — Tout K(«, h) irréductible est un continu irréductible ab. 



Il suffit de montrer, ([ue la décomposition de l'ensemble donné A en 

 deux ensembles fermés sans point commun est impossible. 

 Admettons le contraire, soit 



A E= M -1- N 



une telle décomposition. Si a est contenu dans M, il en sera de même de b, 

 et comme M n'est pas un K.(rt, b) et possède les propriétés (i), (2), (3), il 

 ne possédera pas (4)» et il y aura une décomposition : M ^ee P 4- Q (P et Q 

 sont fermés et sans points communs, P contient a et Q contient b). La 

 décomposition 



montre que A n'est pas un K.(a, 6), contrairement à la supposition. 



(') ScHOESFLiEs, liericht, i. Il, p. lo^- 



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