2()8 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Soit B un ensemble K(a, b), nous l'enfei'mons [ce qui est possible 

 d'après (i)] dans un carré Q( carré fondanienlal) cl décomposons l'aire de 

 ce dernier, à l'aide de parallèles équidistantes, en rr carrés, que nous ran- 

 geons d'une manière déterminée en une suite Q„", Q,^ , . .., Q^"' ; P„" étant 

 l'ensemble des points de B situés à l'intérieur de Q\^ '■, nous formons la suite 



B«", B(", ..., I^'"", 



où 



(i) B<»)=EtS,. 



(■2) B''^"sB")-P,;+' , 



siB(')-Pf"estunK(a, />); 



(3) U('+" = Bi'), 



si Bf'")- P;;+" n'est pas un K(rt, b). 



B""' sera noté par/„(B);/„ est donc signe d'opération. 



Lemme III. — 7oiU Iv(a, b) co/ilient un continu irréductible ab. 



A étant un K(a, b) cpielconque, formons la suite A,, A^, . . ., où A,i^ A, 

 Av+i'^/v+i (Av) (v = 1 ) ; toutes les opérations /,, sont exécutées relativement au 

 même carré fondanieni ni Q. Tout A,, est un K(«, />); A.,+ ^ <^ \^, donc 

 (lemme I) A^,^=D(A,, A., . ..) est un K fa, //); de plus, c'est un K(rt, b) 

 irréductible. Admettons le contraire, alors il y aura un K(a, b) — B, sous- 

 ensenible de A„. Soient d un point de A,„ — B, y] sa distance de B. 11 y aura 

 une infinité d'entiers v, tels que : i° c/ est à l'intérieur d'un carré Q,/ ; 2" ce 



carré est de côté plus petit que ~ et ne renferme, par suite, aucun point 



V'2 



de B, m étant le plus petit de ces entiers, Q,^ le carré contenant d, consi- 

 dérons la suite (]ui définit A,„ 



A __ A(OJ . Al \ '■- " A '■ A!'"'' =: A 



A^„_!, — F„', est fermé et contient B, donc c'est un K(«, b), par suite 

 A-'"' = A"""" P"'' 



Il s'ensuit que A^',^, et de même A„, cl A^ ne contiennent pas d. 



Du lemme II découle que A^^ est un continu irréductible ab, donc le 

 lemme III est démontré. 



C étant un continu, p et q deux de ses points, G sera évidemment 

 un K(/;, q) et contiendra donc un continu irréductible jL»y. c. y. i-. d. 



