SÉANCE DU 2;) JUILLET I910. 3oi 



Marcolonj^o ( ' ) que les fonctions U, V, W 



(") ^ = (ITT)Ii.Ol-^^'"=°^^^'-'^-^'" 



(2 



-H 3 A'cos(/'x) coi(ry) i' 



2/ / N / ,-iCos(/-v) 

 H- 3/.cos(/'.r) cos(/;)ir, da. . . ., 



satisfont aux équations 



{12) AU + /,■-—= o, .... dans t, 



dx 



et on tenant compte des propriétés suivantes de leurs valeurs limites 

 IJ, V, \\ à la surface (t: 



I. Si Ton suppose les fonctions u, c, tr continues (ou seulement conti- 

 nues par intervalles) sur a, on aura pour deux points (E,,r),, 'Ci)et (^.,,-f\.,^'C.i) 

 de 1 quelconques dont nous désignons la distance par i\.,, 



(i3) 1(7/ — ÏÏ);,.^,:,— («— U)E,^„^,£HMax. abs.(77. r,'^)/-,\, ... (o<A<i), 



où B est une constante finie ne dépendant que de la surface 7 et du choix 

 dexV. 



II. Si l'on suppose les fonctions ;/, c, ir continues de manière qu'on ait 

 pour deux points ( ?,,y),,!^, ) et (^z.,,-f].,^'Ç.,') de 1 quelconques dont nous dési- 

 ;;nons la distance par /•,;,, 



(l'i) I //(;;, .r,j,r,) — /M£|,r;,,Ç,)| :=A/-',2, ..., 



A étant une constante Unie, o <^ /. <; 1 , les fonctions u — \ , v — V, ir — \\ 

 posséderont des dérivées premières D,(« — l'j, l),(r — V ), l>,(iv — Wl 

 dont la coiitiiiuilé satisfait aux conditions 



('•') |iM«-'îJkr,.:,--i-»,(^-IJJE,,„:, l<CA/->,,, 



où il est une constante finie ne dépendant que de la surface 7 et de A. 



On voit ainsi qu'on pourra toujours résoudre le problème (9) sous la 



seule condition que les fonctions h, v, ir, soient continues (ou seulement 

 continues par intervalles ) sur t. 



(') /{endiconti c/clt'Acc. dei Lincei.h" série, l. \\l. 1907, p. -hi. 



