SÉANCE DU l" AOUT I9IO. 875 



tion (i) pour une famille donnée de contours s'enveloppant les uns les 

 autres. Ce n'est pas une solution au sens où nous l'entendons, mais nos rai- 

 sonnements s'appliquent si l'on considère une famille donnée de contours à 

 l'intérieur d'une certaine région dans laquelle resteront les points A et B, 

 et qu'à l'extérieur de cette région la déformation du contour puisse être 

 quelconque. H vaut mieux écrire directement la condition d'iuléj^ralité de 

 l'équation (3); on trouve que g est la somme d'une fonction symétrique 

 des points A et B et d'une fonction du point A. C'est tout ce qu'on peut 

 déduire de l'équation (3), si l'on ne fait pas sur la fonction i^ d'hypothèses 

 complémentaires, comme de supposer qu'elle reste invariante pour un 

 déplacement d'ensemble du contour C et des points A et B. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sw la convergence des séries de Diricldet. 

 Note de M. Harald Bour, présentée par M. Emile Picard. 



1. Soit 



n = i 



une série de Dirichtet attachée à la suite de nombres 



(2) X,<À2<. ..<>.„<... (lim/„=oo). 



On sait que la série ( i ) possède deux droites de convergence a = a et a = |3 

 (P>a), dont la première délimite la région de convergence ordinaire, tandis 

 que la seconde, celle de convergence absolue; rappelons-nous encore que, 

 dans le domaine (t> a -)- £, |s|< const., la série ( i ) converge uniforménient, 

 ce qui n'a pas lieu en général pour tout le demi-plan a> a -|- £. 



.le me propose d'introduire dans cette Note une nouvelle droite de 

 convergence a = y, que j'appellerai droite de convergence uniforme, telle 

 que la série (i) converge uniformément pour o->y-hî, et non pour 



CT>Y — £. 



Sous certaines hypothèses restrictives sur (2), la droite de convergence 

 uniforme joue un rôle essentiel pour la fonction /(.s) et peut être déterminée 

 à l'aide de ses propriétés analytiques les plus élémentaires, ce qui n'a pas 

 lieu pour la droite de convergence ordinaire «7 = x. On a, en cil'el, le théo- 

 rème suivant : 



