37^ ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Théorème I. — Soit 



(3) o<limsup. i^;^/<oc; ^ 1_,^ - 0(('>»('+^') (') 



(où le symbole O a la signification habituelle). 



La série ( i) converge uniformément en tant que la fonction f(s) est régulière 

 et finie. D'une façon plus précise : Le nombre c étant tel, que la fonction f(s) 

 est finie et régulière pour 'j'^ c -\- t, et non pour <j |> c — t, on a 



y = c. 



Il en résulte, d'après un théorème de M. E, Lindelôf (^), le 



Théorème II. — Im fonction f {s) étant régulière au delà de la droite de 

 convergence «/«iybrwe (c'est-à-dire pour a > y — ô), elle prendra dans chaque 

 bande y + î > '3' ^ y — t une infinité de fois toute valeur, à l'exception d'une 

 seule, auplus. 



2. En me servant de la théorie des approximations diophantiqués, j'ai 

 démontré les théorèmes suivants : 



Théorème III. — La suite (2) ne satisfaisant à aucune relation de la 

 forme 



C,?., -t- C2>.2 + . . .4- C,„X;„= O, 



les c„ étant des nombres entiers (pas tous = o), la condition nécessaiie et 

 suffisante pour que la série (i) converge uniformément pour a^a,, est quelle 

 converge absolument pour a = (To . 



Théorème IV. — La condition du théorème précédent étant remplie, sup- 

 posons de plus que la série (i) ne soit pas absolument convergente sur la droite 

 (7 = [i. Dans ces conditions la fonction f(s) ne sera pas finie dans le domaine 



(T ^ j3, / > T, T étant quelconque. 



Lès théorèmes III et IV peuvent présenter un certain intérêt à cause de 

 leur caractère arithmétique nouveau. 



(') C'esl M. Sclinee qui a iiilroduit le premier les conditions (3) dans la théorie des 

 séries de Dirichlet. l'allés sont remplies en particulier pour les séries de la forme 



(-) Mémoire sur certaines inégalités... [Acta Soc. se. /ennicce, t. XXXV, 1909). 



