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des moyennes aritliniélicjues (') les droites de soniniabilités présenlenl la 

 même propriété. 



M. Landau a signalé un cas particulier très remarquable où la droite de 

 convergence même des séries de Diriclilet de forme plus générale possède 

 certainement un point singulier. En elfet, il a démontré le théorème sui- 

 vant (^) : 



Si la série de Dirichlel ^ a^e^''n' a ses coefficients positifs, le point réel de 

 sa droite de convergence est point singulier de la fonction définie par la série. 



Ce théorème admet pour les séries de la forme V a„ n~' la généralisation 

 suivante : 



Soit la droite Y{(s) = a,, la droite de sommabilité d'ordre r de la série à 

 coefficients réels (^^ D (.v) ^ ^a„«~^ Si les moyennes arithmétiques d'ordre r 



des n premières sommes partielles de la série V a,ji~"-rsoiit croissantes avec n, 

 le point s=^%^ est point singulier de la fonction f (^s) définie par la série D (*). 



Pour élai)lir notre ihéorème nous pouvons supposer, sans restreindre la 

 généralité, a,. = o. Posons 



A;«'=. «, + a, + . . . 4- «„, A;/'= A',-" + A'/-" + . . . + A',r " («=1,2,..., /■)• 

 Dans noire condition, les deux cas suivants peuvent se présenter : 



1° Il m =oc; 



( H -H I ) . . . ( /; -f- /■ ) 



1" lim rr c, 



(« 4-1). . .(«+ /•) 



le nombre c étant fini. 



Dans le premier cas il est manifeste que la fonction /(:?) définie par D(5) 



(') H. Boiui, Comptes rendus, ii janvier 1909. — M. KiEsz, Comptes rendus, 

 22 novembre 1909. 



(^) (Jeber einen Satz von Tscliebyclief {Math. Ann., i. LXI, p. 536). 



(') I.es coefficierils de la série élanl complexes, posons 0,1 = a'„-i- ia'„. Si noire 



(;ori(lilioii e■^t remplie pour riiiie des deii\ séries ^ ct'„ «~S ^ a",n', le point réel de 



la droite K [s) = a, est encore un point singulier de la fonction /{s). 



