SEANCE DU 22 AOUT I910. 499 



tend vers 3c, s tendant vers zéro sur l'axe réel positif. Donc 5 = o est bien 

 un point singulier. 



Four démontrer notre énoncé aussi dans le second cas, nous allons 

 d'abord établir que le point 5 = o est un point singulier de la fonction 0(5) 

 donnée par la série 



y ( èïl ^ -) „-.=y b n-' 



^\{n-hi). . .(n -h r) n. . .{ n -^ r — \)J ^ " 



Ce sera une conséquence immédiate du théorème de M. Landau, si nous 

 démontrons que le droite de convergence de cette série est précisément 

 R(f) = o. Or cela résulte de l'identité (') 



_ ,1 Af"[(/i + /•)&„] A(^'[(»-^n(» + /--i)6„] 



«„+,-'.j"« PI ' ^-j ... 



^ ^ ^^^ A"-'[(» + r)(» + r-i)...(« + i)6„] 



et du fait que la droite R{s) = o est la droite de sommabilité d'ordre r de 

 la série ^a„n~^. 



D'ailleurs on a pour R(*) > o la relation (") 



d'où l'on conclut 



la fonction g(s) étant régulière au point 5 = o. De même 



•^*^ ^ («+,)...(„ + ,) \n'J Zj («-h.)... (« + ,•) n^+« ^''*:'^' 



donc 



r(-i) = {s-hi)...{s-{-r)cf,{s)-h h{s), 



les fonctions y(s) et ^(5) étant aussi régulières au point 5 = 0. Il s'ensuit 

 que le point 5^0 est aussi dans notre second cas un point singulier de la 

 fonction /(f). 



( • ) A*- ( (•„ )=i'„—(\ C,,^, -^ (') ''« + 2 — ...+ (— I )* i'„+A . 



(') BouR, toc. cit. 



C. K., 1910, 2' Semestre. (T. 151, N° 8.) 66 



