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Abordons inaintenanl la démonstration du théorème et supposons que le 

 point O soit mobile. Comme les lignes de courbure d'un système de la sur- 

 face (S) passent par le point O, une des deux familles de Lamé qui consti- 

 tuent avec la famille donnée un système triple-orthogonal est composée de 

 surfaces (S,) possédant en commun la trajectoire (F) du point ^ \ 



Supposons connue cette famille de Lamé. Pour en dédiuo une sur- 

 face (S), marquons, sur (F), un point O et menons, par ce point, dans 

 chacune des surfaces (S,), les lignes de courbure (K2),(K). 11 est clair que 

 le lieu de l'une d'elles, de (K^), par exemple, est une surface ( S). 



Construisons enfin la troisième famille du système triplc-orlhogoual. 

 Soit (T) une ligne de courbure de (S), orthogonale aux ligues (K,). Par 

 le point A où (T) rencontre une quelconque des surfaces (S,), menons la 

 ligne de courbure de (S,) cjui est orthogonale à la ligne de courbure (Ko) 

 passant par le point A. Le lieu de ces lignes de courbure est évidemment 

 une des surfaces appartenant à la famille de Lamé cherchée. Si, en parti- 

 culier, on prend pour (T) celle des lignes de courbure de (S) qui se réduit 

 au point O, la surface correspondante, que nous désignerons par (S^), sera 

 engendrée par les lignes de courbure (K) définies plus haut. Celte surface 

 admet donc le point O comme point conique. Il est clair que si O varie, la 

 surface (So) engendrera la famille considérée. 



On voit que, des trois familles de Lamé qui composent le sy >' ine triple- 

 orthogonal, deux sont constituées par des surfaces admettant des points 

 coniques situés sur (F) et la troisième par des surfaces ayant en commun la 

 courbe (F). 



Soient p, p,, po les paramètres des surfaces (S), (S,), (S.). Marquons, 

 comme plus haut, sur (F), un point O et attachons à chacune des sur- 

 faces (S,) le trièdrc trirectangle Oj^ys dont les arêtes Oa-, Os sont res- 

 pectivement tangentes aux courbes (K), (Ko). Ce trièdre dépend de la 

 variable p, ; désignons, suivant l'usage, ses rotations par p,, q,, r, ; d'après 

 la théorie des systèmes triple-orthogonaux, y, est nulle ('). Soit f l'angle 

 que la tangente Ot k la courbe (F) fait avec ().r. Relativement au trièdre 

 O.vyz, un des points de Ot situés à la distance un du point O a pour coor- 

 données coscp, o, sin^. En exprimant que ce point est fixe, on trouve que cp 

 €st constant. Parsuite O.rel Os engendrent des cônes de révolulion autour 

 de O;. Le cùne tangent de la surface (S) est dès lors de révolulion autour 

 de 0/ cl son axe de révolution est la tangenle à la Irajectoin: du point O. 



(') Voir G. Darboux, Leçons sur les systèmes orthogonaux et /« coordonnées 

 curi'ilii^nes, p. i88. 



