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(^)iicl(|iies mois suffisent maiiilt'iiaiil pouf acIifNci' la (hMiioiisUalioii du 

 théorème ([iii fait lobjet de celte Note. 



Si le cône Langent relatif au point O n'est pas de révolution, le point ( ) 

 est fixe, car -"il élail mobile, ce cône serait de révolution. 



Lorsque I.; cône tangent est de révolution, son sonimel peut être fixe, < ar 

 tout cône vai'iable de sommet fixe engendre une faniille de Lamé. 



Enfin on vient d'établir <jue, si le sommet est mobile, la langcule à sa tra- 

 jectoire coïncide avec Taxe de révolution du cône. 



En terminant, nous allons exposer rapidement une démonslralion ana- 

 lytique du ibéorènie actuel, mais nous nous bornerons au -cas où, la sur- 

 face (S) étant algébrique, le cône tangent en () est du second ordre. 



Rapportons la surface (S) au trièdre Oa-yz dont les arêtes sont les axes 

 du cône tangent. Les translations ^, r^, 'Ç et les rotations/;, </, rdc ce trièdre 

 dé[iendcnl, comme (S), d'un paramètre it. L'écjuation de (S) est de la forme 



(1) o z=: (^z= a.r- -\- hy- -\- cz--{- . . .. 



Le cône tangent élant irréductible, ahc est ^ o. 



En expiimant que la fonction cp satisfait à l'équation (/l'i) (p- 91) de 

 l'Ouvrage cité (la valeur de la quantité cp' qui figure dans cette équation 

 étant celle (jui est donnée dans le même Ouvrage, p. loG), on obtient une 

 relation entre a?, j', z, u, relation qui doit être vérifiée, soit identiquement, 

 soit en vertu de l'équation (i). On a, dans les deux cas, 



(2) ^(*-c)«=o, ■n(c-ay-=o, Ç(rt-/>)2 = o. 



Si le cône tangent n'est pas de révolution, le produit (a — b)(h — c)(c — a) 

 est 7^0. Les relations (2) donnent alors ; = ■/] = '( = o. Le point () est 

 donc fixe. 



Si le cône tangent est de révolution autour de Os, on a « ^= /> 7^ c et des 

 relations (2) on déduit ^ =: o, ■/) = o. Si '( = o, le point O est fixe; si C n'est 

 pas nulle, la trajectoire du |)oint O est tangente à l'axe de révolution. 



Remarque sur la Communication précédenfe, 

 par M. Gasto.v Dakboux. 



A la l>ai;e 5o5 de la deuxième édition de mes Leçons sur les Coordonnées 

 curvilignes, édition entièrement terminée et qui est en ce moment au bro- 

 chage, j'ai démontré la très intéressante proposition de M. A. Demouliii 



