SÉANCE DU 3 OCTOBKE I910. G07 



ainsi en général, c'est-à-dire si le noyau K(^, y) n'est pas singulier. Je 

 voudrais donner ici un exemple explicite extrêmement simple d'une équa- 

 tion fonctionnelle singulière, qui offre des circonstances sur lesquelles, si je 

 ne me trompe, on n'a pas encore appelé l'attention. Au lieu de fonctions 

 d'une variable, nous considérons des fondions de trois variables indépen- 

 dantes. 



2. Envisageons d'abord l'équation 



à""!! à- Il d'il 

 ^ ' ()x- ôy- dz- 



A étant une constante. Supposons qu'il existe une solution w (a;, j, 2) de 

 cette équation, continue et uniforme dans tout l'espace, et restant en valeur 

 absolue inférieure à un nombre fixe, ainsi que ses dérivées premières. Pre- 

 nons d'autre part l'expression 



,. r= Ç Loti r^-^ ^a:-lf-^{y- -nf V(- - If] 



qui, regardée comme fonction de (H, yj, ^), satisfait à l'équation 



à- (' d- (• à^ __ 



En appliquant la formule de Green aux deux fonctions «(^, •/],'() et 

 r(H, Y], 'Ç) dans l'espace compris entre une sphère infiniment petite de 

 centre {x,y, z) et une sphère de très grand rayon, on a de suite 



(^) 



47:«{x, j, z)-(i-l) f f p—u{l-n, ti)dEdvdK-o, 



l'intégrale triple étant étendue à tout l'espace (^, rj, l). L'équation (2/ est 

 une équation du type de Fredholm sans second membre. 



3. Nous allons montrer maintenant que c'est seulement pour X réel et 

 WQ^niil (\\x'\\. peut exister une solution u de l'équation (1) non nulle et satis- 

 faisant aux conditions indiquées. Supposons en effet que A ne soit pas un 

 nombre réel négatif; désignons par \ A la détermination du radical, dont la 

 [)artie réelle est positive, et posons 



e-i\''i. 





où /■ a la même signification que plus haut. Si l'on admet que «(ç, rj, i^) est 



