SÉANCE DU 3 OCTOBRE 1910. 609 



paramètre a). Des circonstances tout autres se présentent ici que dans le cas 

 classique de l'équation de Fredholm. 



On pari de a = o(>. = i), en donnant à sfk la valeur un. Traçons alors 

 dans le plan de la variable complexe u. une coupure L formée de la partie 



de Taxe réel allant de 7— à -h co. 



AT. 



Tant que u. ne franchit pas celte ligne, la fonction u reste une fonction 

 holomorplie de ui, et si, pour une valeur donnée de pi, on la regarde conuiie 

 fonction dex, y et s, sa valeur absolue reste toujours inférieure à un nombre 

 fixe. 



Que constate-t-on maintenant si l'on étudie la nature de la fonction u 

 de u., le plan de cette variable n'étant plus sectionné? Des circonstances 

 très différentes se présentent suivant la fonction donnée /(a;, y, s) : 

 . 1° La fonction pourra n'avoir que des pôles sur la coupure L; 



2° Cette coupure sera, en totalité ou en partie, pour la fonction, une 

 coupure essentielle au delà de laquelle il ne pourra y avoir de prolongement 

 analytique ; 



3" Il peut encore arriver que la fonction u de ij. ne soit pas une fonction 

 uniforme, le prolongement analytique pouvant se faire au delà de la 

 coupure L sans qu'on retrouve la déteiininalion correspondant au plan 

 sectionné; dans ce cas, la nouvelle détermination ne donne plus une fonc- 

 tion de {x.,y., z) bornée dans tout l'espace. 



Sans insister davantage sur ces cas qui peuvent se combiner, on voit 

 combien l équation fonctionnelle (3) diffère, malgré sa forme identique., de 

 l'équation habituelle de Fredholm. Les propriétés analytiques de la solution 

 regardée comme fonction du paramètre u. dépendent essentiellement de la 

 nature de la fonction f(x, y, s) qui se trouve dans le second membre. 



6. Nous avons pris un exemple extrênTçmenl simple. 11 serait intéressant 

 d'étudier d'une manière plus générale l'équation 



u(x,y,z)-iJ.J j' j H^-Lu{l,r,.l)(lldf,dZ=^f(.v,y,z), 



la fonction H(.r, y, s ; ^, yj, s) étant bornée pour toutes les valeurs des six 

 variables qui y figurent. Il n'est pas douteux que des circonstances ana- 

 logues se présentent, quand on regarde « comme fonction de u.. Je me 

 réserve d'y revenir. 



7. Remarquons, en terminant, que des problèmes d'une nature plus 



