SÉANCE DU lo OCTOBRE 1910. 629 



M. Gastox Darboux, en présentant la deuxième édition de ses Leçonssur 

 les systèmes orthogonaux et les coordonnées curvilignes, qui vient de paraître, 

 s'exprime en ces termes : 



La nouvelle édition de mon Ouvrage sur les coordonnées curvilignes est 

 complète en un Volume. J'ai tenu, en terminant ce Traité, à remplir les 

 cngagcnients que j'avais contractés envers le public géomètre. Les additions 

 par lesquelles cette édition se distingue de la précédente sont nombreuses. 

 Je vais les indiquer rapidement. 



Dans la Géométrie infinitésimale, comme dans d'autres théories, on 

 rencontre fré(piemmenl des systèmes d'équations aux dérivées partielles du 

 premier ordre, ou se ramenant au premier ordre, qui peuvent être résolus 

 par rapport à toutes les dérivées qui y figurent des fonctions inconnues. 

 Ces systèmes se ramènent à trois types que j'envisage successivement. P^n 

 employant, au lieu des séries de Cauchy, les méthodes d'approximation 

 dont M. Emile Picard a fait un si brillant usage, j'établis troi> théorèmes 

 généraux iixanl, pour chacun des trois types, les conditions d'existence et 

 le degré de généralité des solutions. Les applications, tant analytiques que 

 géométriques de ces théorèmes, sont nombreuses. La principale application 

 géométrique concerne la recherche de deux systèmes de coordonnées cur- 

 vilignes qui soienl parallèles, c'esl-à-dire soient tels (|u'aux points de mêmes 

 coordonnées curvilignes les plans tangents aux surfaces coordonnées cor- 

 respondantes soient parallèles et, par suite, aussi les tangentes aux courbes 

 coordonnées. On montre qu'alors les systèmes sont à lignes conjuguées, 

 c'est-à-dire que les courjjes coordonnées doivent former un réseau sur chaque 

 surface coordonnée. On détermine le degré de généralité de tels systèmes 

 et l'on en développe un grand nombre de jjropriétés géométriques. 



La considération des systèmes conjugués ramène aux systèmes triples 

 orthogonaux, qui en sont des cas particuliers. Je reviens sur la méthode 

 géni'rale dt' recherche de ces systèmes et je démontre un théorème (pii peut 

 avoir des applications en Physique mathématique, en établissant cpiun 

 système triple orthogonal est déterminé quand on se donne arbitrairement 

 les trois surfaces (}u'il doit comprendre et qui passent par un point déter- 

 miné de l'espace. J'étudie ensuite les théorèmes de Combescure et de 

 Kibaucour et j'expose la méthode de récurrence qui constitue le plus 

 puissant moyen de recherche aujourd'imi connu des systèmes triples ortho- 

 gonaux. 



Après les anciennes méthodes de recherche, on en fait connaître une 

 nouvelle qui repose sur l'emploi des imaginaires et qui fait dépendre la 



L I E R A R ^' 



