SÉAJÏCE DU lO OCTOBRE 1910. oi"} 



La première a pour point de départ le théorème suivant : 



Théorème A. — Suit 



z — f{T. y) 



une fonction uniforme admettant des dérivées des deux premiers ordres finies 

 et continues pour toute râleur réelle de .r, v. Si la surface représentée par cette 

 équation a sa courbure totale non positive et que de plus l'ensemble des points 

 oit la courbure est nulle ne forme pas de lignes continues^ la fonction z ne 

 peut être bornée dans tout le plan sans se réduire à une constante. 



Cette proposition conduit immédiatement au théorème suivant dont le 

 théorème classique de Liouville n'est qu'un cas très particulier : 



Théorème B. — .SV :■ est une solu/ion de f équation 



A/■^-aBi-HC<=:o (AC — Bî>o), 



A, B, C étant des fonctions (analytiques) quelconques de p, q, z-, x, v, la 

 fonction z ne peut être bornée pour toute valeur réelle de ce, y, sans se réduire 

 à une constante. 



En effet, il est évident que la courbure de z n'est jamais positive. D'autre 

 part, l'égalité rt — s' — o entraîne r = s = t = o; donc, si la courbure pou- 

 vait être nulle le long d'une ligne continue, cette ligne sérail plane et le plan 

 tangent à la surface en tous ses points se confondrait avec son propre plan; 

 or la seule solution de l'équation {i) jouissant de cette propriété est le plan : 

 la fonction z satisfait par conséquent aux conditions du théorème A. 



Parmi les surfaces admellanl le tliéorèuie de Liouville, nous pouvons citer 

 les surfaces minima. D'ailleurs, par des considérations analogues, on arrive 

 au sujet de ces dernières surfaces à la proposition suivante, qui est également 

 susceptible de généralisations : 



Théorème C. — Si une surface minima est représentée par l'équation 



elle se réduit nécessairement à un plan, si sa dérivée p est bornée. 



En effet, on vérifie par un calcul élémentaire que la fonction u = ^p -*r- p^ 

 satisfait à l'équation linéaire 



oiip, q sont les dérivées premières de z. 



