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2. La seconde méthode se rattache plus directement à ma théorie du 

 problème de Diriclilet. D'après cette théorie, on est amené à déterminer 

 a priori au moyen des données sur le contour une borne supérieure de l'incli- 

 naison \i p' -\- q^ du plan tangent à l'intérieur du contour. En général, cela 

 exige (lorsque le problème de Dirichlet est possible) la connaissance des 

 dérivées secondes par rapport à l'arc sur le contour ; mais il en est autrement 

 quand on cherche une borne supérieure seulement à l'intérieur d'une région 

 déterminée située entièrement à l'intérieur du contour. Dans ce cas il suffit 

 d'envisager l'expression 



»■ = vV'' + <r ( ^- — .r^ — .y- ) -h P = 



(ou des expressions analogues^, R désignant le rayon du cercle C, à l'inté- 

 rieur duquel on étudie l'inclinaison, et P une constante qu'il est possible de 

 choisir suffisamment grande, pour que w ne puisse pas avoir de maximum 

 à l'intérieur du cercle. Si M est une borne supérieure de z, la borne supérieure 



de \ p- 4- (j- sera donc 



2MP • 



ou bien 



2MP 



K»— R^ 



à l'intérieur d'un cercle C, de rayon R,(K, -< R) concentrique au précé- 

 dent, elle ne dépendra par conséquent que des valeurs de la fonction sur le 

 contour et non de ses dérivées (comme dans les formules classiques de 

 Cauchy). 



La première conséquence qu'on peut tirer de cela, après avoir remarqué 

 que le même raisonnement s'applique aux dérivées successives, est la géné- 

 ralisation du théorème de Harnack, duquel résulte alors immédiatement 

 la possibilité du problème de Diiichlet, lorsc/ue la fonction continue donnée sur 

 le contour est quelconque, du moment que celte possibilité a été démontrée pour 

 toute fonction analytique ('). Mais ce qui nous intéresse actuellement, c'est 

 la grandeur du nombre P qui dépend de R : il est clair que le théorème de 



LiouviUe est exact pour toutes les équations pour lesquelles le rapport t— tend 

 vers zéro, quand R croît indéfiniment . 



( ' ) Dans mes recherclies antérieures je supposais toujours les données sur le conloui 

 analytique {Matheni. Ann., 1910). 



