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Cette élégante proposition est due à M. Darboux('). L'éminent géomètre 

 l'a démontrée sans faire appel à la notion de système point O ; celle-ci en 

 effet n'est pas indispensable pour établir le théorème en question, mais 

 elle va nous conduire à de nouvelles propriétés des systèmes triple-ortho- 

 gonaux. 



Désignons par (M,) un quelconque des systèmes point O parallèles au 

 système (M) et par //^j les coordonnées du point M, qui le décrit. On sait 

 que, pour obtenir les valeurs les plus générales des h)^, il faudra d'abord 

 intégrer un système d'équations aux dérivées partielles [celui auxquels 

 satisfont les coefficients du ds'- du système (M, )|, puis effectuer cinq qua- 

 dratures de différentielles totales. 



On établit aisément que, dans un espace quelconque, l'inverse d'un 

 système point O est un système point O. Si donc on soumet le système 

 (M,) à une inversion dont le pôle soit à l'origine des coordonnées, on 

 obtiendra un nouveau système point O. Les coordonnées du point M' 



qui le décrit auront pour valeurs -^, si l'on pose u,. = I^u'/f. Appliquant à 



ce nouveau système point O le théorème de M. Darboux, on obtient le 

 théorème suivant : 



Les points d'intersection F', Q' des sphères (S,) définies par l'équation 



' "'"-^n-. 



décrivent dcitr systèmes triple-ort/iogonaux (P'), (Q') qui se correspondent 

 dans une transformation de Ribaucour. 



Il est clair que la méthode qui nous a permis de passer du couple (P), 

 ( Q) au couple (P' ), (Q') peut être jjoursuivie indéfiniment. 



Voici une applicalion du théorème précédent. Prenons pour système (M,) 

 celui qu'on ohlicnL en imprimant au système (M) une translation arjiitraire. 

 On aura alors U/^ = u,, — a,,^ «y, désignant une constante. En portant cette 

 valeur de iï/^ dans les équations (2), on obtiendra sans intégration de 

 nouveaux systèmes triple-orthogonaux. 



Revenons au cas général et désignons par (S) la sphère représentée par 

 l'équation 



^ «;, xi, — o. 



(') Leçons sur les syslèmes oilliogonaux el les coordonnées curvilignes^ 2" édi- 

 tion, p, 4o'>.. 



