SÉANCE DU 7 NOVEMBRE I910. 79g 



Lorsque p, esl constant, les points caractérisliqufs de celle sphère 

 appartiennent au cercle d'intersection des sphères (S*), (S,). Les sphères 

 (S/), (S^) sont inverses par rapport à la sphère (2) ('). Il suit de là que les 

 points P et Q ont pour inverses par rapport à (2) les points P' et (T. \ous 

 supposerons que P, l''; Q, Q' sont des couples de points inverses. D'après 

 les propriétés de l'inversion, les systèmes (P), (P) se correspondent dans 

 une transformation de Ribaucour et il en est de même des couples (Q), 

 (Q) ; les points P, P', Q, (V qui décrivent ces systèmes sont sui' un mrine 

 cercle. 



Désignons par (M,) un système point O de l'espace à cinq dimensions et 

 par (Ma), (M3) les systèmes qui lui correspondent dans des inversions de 

 pôles O2, O3. Soumettons enfin le système (Mo) à une inversion dont le 

 pôle soit situé sur la droite 0^( );,. Le système ( M,) ainsi obtenu et le sys- 

 tème (Mj) se correspondent dans une inversion dont le pôle est situé aussi 

 sur la droite O2O3. Par application du théorème de M. Darboux, on déduit 

 des quatre systèmes (M,) quatre couples (P,), (Q,) de systèmes triple- 

 orthogonaux qui se correspondent dans des transformations de Ribaucour. 

 Kn vertu des propriétés établies plus haut, les points qui décrivent ces 

 systèmes sont les sommets d'un hexaèdre inscriptible à une sphère et les 

 extrémités de chacune des arêtes de cet hexaèdre décrivent des systèmes qui 

 se correspondent dans une transformation de Ribaucour. 



Les considérations qui précèdent s'appliquent aux réseaux O de l'espace 

 à cinq dimensions. A un tel réseau on peut faire correspondre un système 

 cyclique dans l'espace à trois dimensions. Cette correspondance bien 

 connue esl due à M. tîuichard {Annales de l'École Normale, année 1908 ). 

 Il ne nous semble pas cependant que ce savant géomètre ait énoncé le 

 théorème suivant : 



Si une équation de la forme 



à^ Il au du 



: m 1- n ■ 



ôy. '13 ()y. ,) 



admet sept solutions liées par une relation (juadratique à coefficients consta/tts. 

 on peut obtenir sans calcul une infinité de systèmes cycliques. 



(') l'ourle flémontif r, il Miftlt d'observer f|ue l'inverse de la sphère i///,X/, = o par 

 rapport à la sphère — /«/,a'/i =^ o a pour i''([uatioii 



