8o2. ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Moyennant cette formule et répétant textuellement les raisonnements du 

 n" 15 de mon Mémoire, cité plus haul {Anna/es de. Toulouse, t. III, 1901, 

 p. 3o3), on s'assure aisément que 



(7) 



?>,l =f [K'\^T)f dx < l^\ 



k désignant un nombre fixe. 



La même formule nous apprend que, en vertu de (G), 



(8) 



RJ,(,r) = R,^,(fl) + 2 f \\n{^)W,: i.r)d.i 



Supposons, pour plus de simplicité, que />(a?) ne s'annule pas dans 

 (a, h) et désignons par a- son minimum. 

 On trouve, en tenant compte de (8), 



R,i(")<^,(s„+|v^;:s^), 



où 



\i>—\ p{x)dx, S„=/ p{x)\\l{x)dx. 



On peut donc écrire, eu égard à (5) et (7), 



R;, («)<ô' pour «>v, 

 et puis, en vertu de (8), 



R*(j>^<ri^ pour «>v, 



Y] étant un nombre donné à l'avance ne dépendant ni de x^ ni de n, ce qui 

 démontre le théorème suivant : 



Toute fonction susceptible de la forme 



se développe en série uniformément convergente de la forme 



f^^)=^^k^k{.x) pour aix^b, 



i. = i 



Y^(x) étant les fonctions de Sturm-Liouville. 



La méthode indiquée s'applique à plusieurs autres systèmes de fonctions 

 fondamentales et conduit toujours aux théorèmes analogues à celui que je 

 viens d'énoncer. 



