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Les liypolhosos faitr's sur le Irièdiv mobile domiciil les rolaliuiis 



( 



i), + tO)i = O, 



(1) < ra,+ Jro2=r: f,).|, 



le coefficient p est indépendant du choix particulier du plan xMy. ces/ un 

 premier invariant différentiel. 



Le long d'une généraliico p varie d'une manière inversenicnl propoilion- 

 nelle au carré du vecleiir MP (ou plutôt au carré de sa projection sur un 

 axe fixe). On choisira alors l'axe M:; do manicrc cpi'il soit tangent à la 

 courbe p = const. On fait ainsi correspondre à tout point M de la surface 

 un Irièdrc de référence parfaitement A('\QV\\\\x\b { aans même aucune amhi gnitè 

 de sens). 



Des considérations géométriques démontrent alors la formule 



(àV f/o -H 2/pW| =r o. 



La formule ( -i) montre ([ue Idu + î^'/r esl une différentielle exacte, et 

 l'une des six formules classiques de M. Darboux permet d'en déduire 



(3) Cî, = — |0G),+ p'0)3, 



le coefficient p' étant un second invariant différentiel. 



Les formules (i), ( ■^ ) et (3) permettent d'exprimer les six composantes 

 o),- et tn, au moyen de r/p et de w.,. 



IL Si l'on étudie, d'après ce qui précède, la courbure des courbes tracées 

 sur la surface, on arrive aux résultais suivants: 



I^e lieu des centres de courbure des courbes tracées sur la surface passant 

 par un point donné M de la surface et admettant eu ce point mu; tangente 

 donnée esl une droite minima passant par le milieu M' du vecteur Mi*. 

 Lorsque la tangente varie, la droite minima engendre la sphère de rayon^ 

 nul de centre M' qui esl ainsi le lieu des centres de courbure des courbes de 

 la surface passant par M. 



Poui' tontes les courbes passant par M, on a la ri'Iatlon remarquable 



qui fournit une intciprélalion géométrique de rinvarianl p. L'invariant p' 

 s'exprime d'une manière analogue en fonction de jj» ,p et leurs dérivées jus- 

 qu'au troisième ordre : 



, I \ ct^û 5 /'dp\' .do 



