SÉANCE DU 21 NOVEMBRE 1910. 923 



plus génrrales sont celles dont tous les points du cercle de convergence 

 sont du même ordre w. 



Soit <'"' un point singulier, x = pe^', o < p ■< 1 . 



Formons le développement 



_ ('-p)" .. 



!^/<"' (x) =r ( I — p)" Ta^ + «„+, '-^-^ pt 



I.2.../J J 



La plus grande limite co' de —. — — est l'ordre de cette série, sur sou 



cercle de convergence, de rayon i, de contre de :■ = r. C'est aussi l'ordre 

 du point V = e"', z = e"', qui est le seul point singulier sur ce cercle. Sur le 

 premier cercle, de centre s = o, ce point est d'un ordre égal ou supérieur 

 à 0)'. Si H varie de o à 2-, le maximum du module de />„ est au moins égal 



à \an^p\(i — ?)"?'' ^"^\^'^"^"^^^ ' quel soit />. Posons 



«-+-/;=:/«, /« ( I — p ) _ « < Hi ( I — p ) + I . 



La formule de Stirlingsur les intégrales eulériennes permet de mettre le 

 coeflicient de |a„+/,| sous la forme 



^ P^ P T{n + i)T{p + i) 



=[^^-4\H^^)"^'^'^- 



\^ 



A ayant pour limite , pour /n = x. Ne donnons à m que des valeurs 



y'nr.p 



telles que —j — — ait pour limite w — i. 



Si m est assez grand, il y aura au moins une valeur de lolle que 



La plus grande limite de ^ ' ^" ' est au moins égale à w Il y a au moins 



un point e^' d'ordre égal ou supérieur à 10 sur un cercle tangent inté- 



rieuremeul au premier. 



