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Dans le développement de />„, posons 

 Il -\- />^ m -\- h, n — m(i — p) + a, p^mp — y.+/t (o53(<i). 



Si ■ — Y tend vers zéro, pour m = ce. le coefficient de a„_^.p peut se mettre sous 

 la forme 



l(in-\- h + i) I H- £ - - 



(i — p)"p^'— g '^"''"' 



En appliquant la méthode que j'ai indiquée (Annales de l'École Nor- 

 male, 189G, p. 367), on peut, pour évaluer le plus grand module de />„, 

 supposer \/i\<!^\KmLjn. Les termes supprimés donnent une somme de 

 module inférieure à 



^P<//" ^ '° si K>-^, o<E<i(KÎ-^l£-iV 



i-p 6V p J 



Ces termes n'ont aucune influence sur le plus grand module de />„, qui est 

 au moins de l'ordre de « ' 'A chaque valeur de //i correspond un argu- 

 ment ô tel que | /^„ | > // ' 'à toute limite de correspond un point sin- 

 gulier e^', d'ordre an moins égal à to — -sur le premier cercle de conver- 

 gence. 



Si, d'après le principe proposé par M. lîorel (Comptes rendus, i4 dé- 

 cembre 1896), on suppose les coefficients c/,j choisis arbitrairement et indépen- 

 dants les uns des autres, on peut former des groupes de termes a„ consécutifs, 

 d'indices n compris entre m zt yKw Lw, n'a} anl aucun terme commun. Les 

 valeurs de 0, qui rendent \b„\ maximum, sont alors indépendantes et ■ 

 auront des limites arbitraires en nombre infini. Tous les points du cercle 

 de convergence doivent être, dans le cas général, d'ordres compris 



entre w — -el to. Si un arc ne contenail aucun point singulier d'ordre supé- 

 rieur à co t, cela limiterait le choix arbitraire des arguments 0, qui 



rendent 1 1>„ \ maximum, et aussi des coefficients a„. 



On peut pousser plus loin ce raisonnement. Le module maximum de b„ 



est compris entre n ^ et n"'-'-^. Il dépend des valeurs des a„ et, en par- 

 ticulier, de la variation plus ou moins régulière de leurs arguments. Dans 

 le cas général, il n'y a aucune raison de supposer qu'il reste de l'ordre mi- 



