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SiG(X)=oa des racines multiples, on ne peut pas nécessairement 

 mettre T sous la forme (i) et, si cela est possible, il y a une plus grande 

 latitude dans la détermination de A. Dans le cas où toutes les racines sont 

 égales entre elles, T est identique au Tableau élémentaire fX,, X,, . . ., A, |; 

 il peut être mis sous la forme (i) en prenant pour opérateur A un Tableau 

 quelconque. 



2. Cette propriété acquise, on peut démontrer ce théorème : Si l'équa- 

 tion en A de T n'a ni racine double, ni racine nulle et si le déterminant de T, 

 n'est pas nul, T et T, étant des tableaux d'ordre n, la condition nécessaire 

 et suffisante pour que le produit T X T, soit commutatif est que T, ait un 

 opérateur commun avec T. 



On vérifie en outre immédiatement (') que la somme, la différence, le 

 produit ou le quotient de deux tableaux de même opérateur T et T' est un 

 tableau de même opérateur, dont le tableau élémentaire est la somme, la 

 différence, le produit ou le quotient des tableaux élémentaires de T et T'. 

 Ces propriétés donnent une méthode pour construire des groupes ahéliens 

 ou plutôt des domaines holuïdes (-) de tableaux, si l'on sait a priori que 

 l'un des tableaux du groupe a une équation en A sans racine double. Je vais 

 indiquer, sans donner les démonstrations qui sont relativement simples, 

 cjuelques-unes des conséquences arithmétiques que j'ai pu en déduire. 



.'5. Si l'on considère un tableau T à termes entiers, ses racines lambdaïques 

 sont n nombres entiers algébriques conjugués, et si ces nombres sont bien 

 d'ordre n, on peut trouver au moins un opérateur de T dont les lignes sont 

 formées d'entiers algébriques conjugués appartenant au même corps que les 

 précédents. 



Tous les tableaux à termes entiers ayant même opérateur A que T consti- 

 tuent un groupe abélien G, etleurs racines lambdaïques A,, de même rang/> 

 constituent un ordre (ou un anneau) d'entiers algébriques M isomorphe 

 holoédriquement de (1 au point de vue des deux opérations : addition et 

 multiplication. Les tableaux d'un tel groupe G sont donc des fonctions 

 linéaires et homogènes à coefficients entiers de.n d'entre eux (dont les 

 racines lambdaïques de rang p constituent une base de M). 



(') Sur des propriétés analogues, cf. : Khonecker, Vorlesungen iïber Delenni- 

 nantentlieorie. — V,K(i\}^^^f.. Sur les systèmes linéaires {Œuvres, l. I). — Fhobemus, 

 (7. Crelle, t. 84, 1878). 



(^) Pour celle nolatioD cf. Konig, Alg. Grôssen. 



