g28 ACADEMIE DES SCIENCES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les novaux résolvants. 

 Note de M. T. Lu.Ksr.o, présentée par M. Emile Picard. 



1. L'étude approfondie du noyau résolvant a été faite par MM. J. Ple- 

 mely, E. Goursat, B. Heywood, et tout récemment par M. Landsberg. 



Le but de cette Note est de reprendre et compléter la méthode simple 

 d'identification employée par M. B. Heywood. 



Si nous écrivons le noyau résolvant sous la forme 



y^^^Uir) ?,„_.(^. .V) ?J.r V) çp;(x^ 



(A, -X)'" ^ (>.,-).)'«-' ^- -^(/.-X)-^ 1,-1. ^ '-'' 



en mettant en évidence la partie caractéristique correspondant à une 

 racine X, de D(X), on peut présenter les résultats trouvés par M. B. Hey- 

 wood de la manière suivante : 



a. cp,(.r, y) est une fonction de la forme 



(i) ii,{x)'i^i\{Y)-^^A''^)']fi{y-i) +•••-!- 9» {■2^)^«(j), 



les fonctions ^p et ip formant les deux groupes d'un système biorthogonal. 



b. <0-,(-c, y) est une forme bilinéaire des mêmes fonctions 



n 



c. Les autres fonctions «^.(a?, y) (p = 3, ...,/«) s'obtiennent de ^.(a?, v) 

 par itérations successives. 



d. Le m — I noyau itéré de 92(17, v) est identiquement nul. 



Ces propositions caractéristiques de la partie du noyau relative au pôle X 

 s'obtiennent directement par identification, en partant de l>équation géné- 

 rale des noyaux résolvants : 



N(.r, y, l) - N(.r, y, p.) := (7. - fx) fN(a; s, l) N{s, y, (x) ds. 



Les fonctions 9 et .p, que nous appellerons principales, ne sont définies 

 qu'à une substitution biorthogonale près, c'est-à-dire à une double substi- 

 tution de la forme 



(I) '' ''=' (/^ = ' "0. 



-7 = 1 



