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Le pôle est d'ordre m et la forme générale du noyau sera donc 



m m — 1 



(3) ^y^<bi.(x)^\{v)^ ~ya,,<S>,,{.v)W p^,(y) +...+ ^a,a,...a,„^,<b,{j:)W ,„{y). 



A, ^^ l-l — J A, 



1 1 



Les fonclioos principales spéciales «t et V sont appelées fonctions 

 fondamentales. L'expression (3) est la forme la plus générale d'un noyau 

 correspondant à une valeur caractéristique de multiplicité et polarité égales 

 à m; on peut l'appeler noyau canonique d'ordre m. 



L'expression d'un novau canoni([ue d'ordre m à l'aide des fonctions fonda- 

 mentales contient m — i comiAnU^?, arbitraires. Pour trouver l'expression la 

 plus générale du même noyau à l'aide d'un système de fonctions principales, 

 il suffît d'appliquer aux fonctions fondamentales une substitution biortho- 

 gonale quelconque. 



Dans le cas général où les diviseurs élémentaires de D(X)sont X'"-, A"'=, ..., 

 7J"r(^m^ + m.,-^ . ..-\- m^^m)., le déterminant canonique D(a) aux mêmes 

 diviseurs élémentaires est 



où D^ est le déterminant canonique général au seul diviseur élémentaire A"V. 

 Il résulte de là que la forme canonique de o.,(.^i }') est dans ce cas 



p=\ 



la forme z>!'(^\ y) étant la génératrice d'un noyau canonique général 

 d'ordre m^,; les formes cp^(.f, y)sont orthogonales. Le noyau est donc, dans le 

 cas généra/, la somm" de r noyaux canoniques orthogonaux d'ordre m,, 

 m,, . . ., m,.- 



Le nombre des constantes arbitraires qui figurent dans l'expression géné- 

 rale du novau général reLitif à la valeur caractéristique A, de multiplicité m 

 et de rang r, à l'aide des fonctions fondamentales, est donc/n — r. 



