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fonctions de deux paramètres variables^ vérifient une même équation linéaire 

 aux dérivées partielles du second ordre (^Théorie des surfaces, l. II, p. 345). 



Je me propose de démontrer ce théorème par une voie qui peut servir à 

 édifier une tiiéorie projective des congruences précédentes, congruence W, 

 et à donner en même temps une théorie géométrique des équations de 

 Laplace à six solutions quadratiques. 



Je représenterai à cet effet chaque droite x{x^, a;,, ...,Xf,) de notre 

 espace euclidien à trois dimensions par un point de la variété quadratique F 

 à quatre dimensions ayant pour équation 



w(a;) = 2«,i..r,Xi.=io (/, A- =i, 2, . . .,6), 

 dans un espace linéaire S5 à cinq dimensions. 



1. Pour démontrer que la condition de M. Darboux est nécessaire, nous 

 partons de l'une des surfaces focales (F) que nous supposons rapportée à 

 ses lignes asymplotiques (w, v). Les deux tangentes aux lignes asymplo- 

 tiqucs qui se croisent en un point M de (F) seront représentées sur F par 

 deux points y et z, qui décrivent, lorsque M varie, deux variétés à deux di- 

 mensions, deux surfaces, sur lesquelles les courbes n — const. et c = const. 

 tracent des réseaux conjugués; de plus, ces réseaux (y) et (s) sont les 

 réseaux focaux de la congruence (yz) formée par les droites yz, lesquelles, 

 on le démontre aisément, sont des génératrices de F. 



Considérons maintenant la deuxième surface focale (F) de notre con- 

 gruence W. Au point M' de (F') où la droite MM' de la congruence 

 touche (F'), il correspondra, comme au pointMde(F), deux points y' ets' 

 de F. On aura donc dans S^ une nouvelle congruence (y' z') formée par les 

 génératrices j', z' de F. Comme la droite MM' fait partie en même temps 

 du faisceau des tangentes en M à (F) et de celui des tangentes en (M') 

 à (F'), son point représentant x sur F sera commun aux droites yz et y'z'. 

 On pourra poser 



et comme on a 



"'^-dTc^^^ (.= .,2,. ..,6), 



w(r) = o, w(/) = o, ''\-£, 



on démontrera aisément que les a?,- vérifient une même équation de Laplace 

 et que par conséquent le point x décrit une surface (x) sur laquelle les 

 développables des congruences {yz) et (./s') tracent un même réseau con- 

 jugué : c'est là la condition nécessaire de M. Darboux. 



