SÉANCE DU 2.S NOVEMBRE 1910. 970 



On sait que 



(2) /./..> M/.-S I Vm'-IK'NÀ/, (/.a>o). 



|\'oii' mon Mémoire, Pmhlcrm de refroidissement, etc. {Annales de Tou- 

 louse, t. III, i9oi,p. 291-299).] 



Soit /(J-) une fonction admettant la dérivée intégrable dans (a, h). 

 Posons 



(3) /(:r)=y A,V,,(a.-) + R„(^), A, = / p{.v) J\j:) \ ,{.,■), I.r. 



Rappelons les inégalités suivantes, établies aux n°' 16 et 18 (p. 3o3-3o5) 

 de mon Mémoire cité : 



(4) S„''= j K,}(x)clx<T.., 



= j K,f{x)d.r+HHl(0)-hl>K(a) + I r,(.r)ï{l{x) dx 



•^ ,1 i II 



<l /"■{.v)dx + \\fHn) + hf-{n)-^-\ ,,(.r)P(.r)d.r =K'- 



et 



(5) s„=fp{.v)nj,{x)dx<'h<z^,- 



Moyennant les inégalités, établies dans ma Note récente [Sur le déve- 

 loppement d'une fonction arbitraire, etc. (Comptes rendus, 1910)], on trouve, 

 en tenant compte de (2), (4) et (S), 



, AT 



(■6 ) R?, ( .r X H ;^ ( .0 + -= v/S„ y/s,,' ' < — ^ - 



A désignant un nombre fixe. 



2. Soit maintenant © (a:) une fonction donnée satisfaisant à la condition 

 de Lipschitz 



(7) \o{.r-\-/i) — o{.r)\<}./) (/f>o), 



X étant un nombre fixe ne dépendant ni de //, ni de x. Formons la fonction 



(8) -^^'^^^t; / 9(-^)'/^- 



Cette fonction admet la dérivée dont le module ne surpasse pas, en vertu 



C. K., 1010, 2- Semestre. (T. 151, N» 22.) l3o 



