SÉANCE l)V 28 NOVEMBRE igio. 977 



aussi à toule suile de fonctions fondanienlales dont jai établi l'existence 

 dans ma Noteanx Comptes rendus du 21 février 1910, ainsi qu'aux fonctions 

 fondamentales correspondant à l'équation différentielle des verges vibrantes 

 élastiques. 



Si nous supposons, en outre, que les fonctions p(x) et f/(-v) admettent 

 les dérivées continues de deux premiers ordres el tenons compte des 

 finMiules bien connues de Liouville (Journal de Liuuville, t. Il), la métbode 

 quo je viens d'indicpier conduira aux résultats du même degré de généra- 

 lité que dans le cas classique de séries de Fouricr el, en particulier, à 

 l'extension du théorème de M. Fejèr à toutes les fonctions fondamentales 

 de Sturni-f^iouville. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur Vintègrubililé des équations de finissani 

 des fonctions de ligne. Note de M. V*xvi. Lfivv , présentée par 

 VI. Emile Picard. 



Soit îpB une fonction de deux points A et B d'un plan et d'une ligne C de 

 ce plan. Si elle admet une dérivée, au sens donné à ce mot par M. Volterra, 

 sa \ariation, quand C se déforme, est de la forme 



r- 



p^ =; / P on rts. 



V étant une fonction de la ligne C, des points A et B el du point M de la 

 courbe C correspondant à lélément ds. Toute relation entre les fonctions 

 P et -p, la courbe C et les points A, B, M peut être appelée é(fuation intégro- 

 différcntielle du premier ordre. En utilisant celte relation, par une défor- 

 mation continue du contour, on peut déterminer la fonction pour une ligne 

 quelconque C si l'on connaît sa valeur initiale pour une ligne particulièreC. 

 Si le résultat est indépendant du mode de déformation de la ligne consi'^ 

 dérée entre C et f ;', et que cola ait lieu en prenant une fonction initiale ([uel- 

 conqiie d'un certain obamp fonclionuel, nous dii-ons que l'équation donnée 

 est complètement inlègrable dans ce champ fonctionnel. 



Considérons le cas où la forme de- cette équation ne dépend pas de C, et 

 supposons de plus que les deux points A et B jouent le même rôle, hypo- 

 thèse que la Physique mathématique semble autoriser. Nous sommes alors 

 conduits à chercher dans quel cas l'équation 



( I ) h'Sfi — I /(9*, oil;, 9',^, V, B, M ) Q« ,ls 



