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est complètement intégrale dans le champ des fonctions symétriques, la 

 fonction /étant supposée symétrique en A et B quand on la considère comme 

 dépendant de ces points à la fois parce qu'elle en dépend explicitement et 

 parce qu'elle déprnd de o^, Oy,, o", . 



En traitant ce problème et en laissant de côté le cas où f ne dépend pas 

 de a>*, et ^',',, on trouve que/ doit être de la forme 



^(9,1. A, M)^(9VB, M) 



_ n-Zm* A B 1 



En posant alors 



(2) ^(cpA, A, B) 



ru' 



on ramène l'équation (i) à la forme unique 



(3) ÔY^^ Ul^}^l nnds. 



' c. 



Cette équation, dont j'ai déjà démontré qu'elle étail complètement 

 intégrable ('), est donc la seule d'une catégorie très étendue qui jouisse de 

 cette propriété. Cette remarque explique un peu le rôle unique qu'elle joue 

 en Physique mathématique. 



Par une transfornialion ponctuelle du plan, effectuée à la fois sur la 

 ligne C et les points A, B, M, l'équation (3) se transforme en une équation 

 du type (i), évidemment intégrable, qui par suite peut se ramener à la 

 forme (3 ) par un changement de la fonction inconnue. On trouve ainsi, 

 comme conséquence d'un théorème plus général, une propriété de celte 

 équation déjà énoncée par M. Hadamard. 



Si dans l'équation (3) ou écrit .L'^Ji au lieu de i\', l'équation obtenue est 

 intégrable dans tout le champ des fonctions non symétriques. Il est fort 

 probable qu'elle représente, à un changement de fonction près, le seul 

 type intégrable d'une classe étendue d'équations non symétriques compre- 

 nant l'équation ( i) comme cas particulier. Je me propose de revenir sur ce 

 sujet. 



Les résultais que j'ai obtenus antérieurement (lui:, cil.) sur la fonction 

 de Green peuvent être complétés par des résultats analogues concernanl la 

 fonction de Neumann; cette fonction se distingue de la fonction de Green 



(') ('ontptes ifiidiis. i" août iqio. 



