SÉANCE UV 5 DÉCEMBRE 19IO. IO-J3 



B est une fonclion facile à calculer qui ne dépend i|ae de / el (|ui est la 

 même quelle que soit p. 



On peut déduire de là des conséquences importantes : 

 Si l'on connaît trois équations distinctes on involution avec l'équation (i ), 

 du même système (A) par exemple, soient cp = o, '|i = 0, ^ o d'ordres 

 respectifs n, m, k supérieurs à '^, on déduit facilement de la relation (4) 



d-"où Ton déduit 



(■i- 'j)'"-'A 



= k. 



(•j^-oy 



on obtient ainsi un invariant pour le système de caractéristiques considéré. 

 Si l'on connaît une quatrième é(|uation t =; o d'ordre /]> 3, on formera avec 

 ']/, 0, G-, par exemple un deuxième invariant et par suite on pourra intégrer 

 l'équation par la méthode de M. Darboux. On voit le lien étroit qui relie le 

 problème de l'intégration de l'équation (i) et la recherche des équations 

 formant avec celle-ci un système en involution. Quand on a trouvé une telle 

 équation, non seulement on peut en déduire une classe étendue de solutions 

 de l'équation proposée, mais encore on a fait un progrès dans la recherche 

 de l'intégrale générale. 



Dans certains cas particuliers les résultats précédents se simplifient el le 

 nombre d'équations o nécessaires pour former un invariant peut être réduit. 

 (Test ce qui arrive, par exemple, pour les équations s =^/(x,y, :, />, (/) 

 (jue j'ai étudiées à ce point de vue dans une Note précédente (séance du 

 3o mai i<)io). 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les pâles des noyaux résolvants. 

 Note de M. T. Lalesco, présentée par M. Emile Picard. 



On peut trouver un critérium permettant de reconnaître si une valeur 

 caractéristique d'une équation intégrale est pôle simple ou multiple de son 

 noyau résolvant, à l'aide de la remarque suivante : 



Si un pôle est multiple, il existe une solution fondamentale de l'équation 

 intégrale qui est orthogonale à toutes les solutions fondamentales de l'équa- 

 tion associée. Ceci n'a pas lieu si le pôle est simple. 



