IIIO ACADEMIE DES SCIENCES. 



Supposons connues des valeurs approchées a el b de x^, y^, et posons 



a-,, = a -t- /i, .ro= /■' ■+- />■ 



En remplaçant a-„ et j,, par a et b, nous commettons une erreur totale que 

 nous mesurons par \j'h- -+- k'-. 



Si les deux fonctions /(a;, j) et g(x^y) admettent des dérivées pre- 

 mières et secondes dans le voisinage de a7„, y„, l'application de la formule 

 de Taylor permet d'écrire 



o=/{a + h, b+ k) 

 ' = ff(a -^/i,b-h k) =^(a, b) -\- /iff'„(a, b) + kff'i,{a, b) 



+ i[A^^°-;;,(« + e'f,, b + o-k) + ... + .. .]. 



La méthode d'approximation de Newton conduit à prendre comme valeurs 

 approchées de h et k, les solutions h' et k' des deux équations 



} o=g'{a, b) + h'g\,+ k'g',,. 



Cela suppose que f„g\ — f'ag'b n'est pas nul. Cette considération sera 

 réalisée si a et Z> sont suffisamment voisins de x^ ety,,, et û/',.^g\^ — /.>„g'y„ 

 n'est pas nul. Supposons donc que les courbes définies par les équations 

 proposées ne soient pas tang^entes au point M„(x^, y,,). 



En remplaçant a et b, respectivement par 



a, = a-i-h' el b,= b + k', 



nous commettons les erreurs partielles 



/i^ — h — /,', k,= /,-k\ 



et la nouvelle erreur totale est mesurée par y//j^ -i- X:^. 

 Une combinaison simple des équations (i) et (2) donne 



(3) 



h,j:,(a,b) + k,f,,{a,b) 



-+■ '- [/>'/■•■■{" + ''■l'i , l> + Ok) + ilikfliia -h Bli,b + Ok) -t- k'-fl{a -t- OIt.b h- 6k)] = o, 



l^xS'ain, l>) + /m A'/,(«. '>) + '-V^'s'Un + fi'h,b+Vk) -h. . .J =0. 



