II 12 ACADEMIE DES SCIENCES. 



le nombre 



p = a lJ.\fî\Jlr -H A- := 2 p.v'2^ M „M 



soit moindre que i. Alors MoM, est moindre que M„M et l'application de 

 la méthode conduit à une approximation véritable. 



D'ailleurs le point M, étant alors à l'intérieur du cercle F, nous pouvons 

 répéter les mêmes raisonnements avec les mêmes conclusions, et ainsi de 

 suite indéfiniment. Nous obtiendrons ainsi une série de points M,, M., . . ., 



M„, tels que 



. > -2 



M„M,< 2fjiv^M„M = 



ip.v/5 



M„Mo< .ipiv/^MoM, < (2f;iV^y]VI„M' 



.p.\/2 



M„M„<3/av'2M„M„_,< 



3fJiy 3 



Le point M„ admet donc pour limite le point M,, qu'on cherche. Le pro- 

 cédé offre l'avantage de bien mettre en lumière la grandeur de l'approxi- 

 mation sur laquelle on peut compter. 



II est facile de voir que les particularités essentielles de ce raisonnement 

 peuvent s'étendre au cas général de /( équations à n inconnues, ce qui permet 

 d'énoncer la proposition suivante : 



Soit un S}'stème de n équations à n inconnues 



/,(.<■,,. î;^, .. .,j-„), fi — o, ..., /„ = o 



qui admettent la solution 



Supposons que les fondions _/, , /a, ..., /„ admettent des dérivées par- 

 tielles premières et secondes dans le voisinage de celte solution, que les 

 dérivées partielles secondes aient des valeurs absolues limitées supérieu- 

 rement dans ce même voisinage et que le déterminant fonctionnel des fonc- 

 tions/, , /a, ■ •-,/« ne s'annule pas quand on y remplace t;,,, ..., .r„ 

 par .t', , . . ., x,^. On peut imaginer un domaine contenant la solution précitée 

 et tel que l'application indéfinie de la méthode d'approximation de Newton 

 en prenant pour point de départ un système quelconque ?,, ■:,.,^ ...,;„ de ce 

 domaine, conduise à la solution cherchée avec une approximation sans cesse 

 grandissante. 



