SÉANCE DU 12 DÉCEMBRE 1910. IIl3 



AXAliYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les groupes commutatifs et pseudo-nuls 

 des quanlités hypercomplexes. Note de M. Lkox Auto.vxk, présentée 

 par M. Jordan. 



Conservons les définitions cl notations de ma Note du i3 juin 1910. La 

 forme réduite n'est pas la seule expression remarquable sous laquelle puisse 

 se mettre la matrice w«-aire 



S(.T) = [sap(a7)] (a, ;3,y = i,2, ..., w), 



d'un groupe (e), commulatif et pseudo-nul, de ([uantités hypercomplexes. 



Les matrices 



S(a;)-(-E (E = //(-aire unité) 



forment un groupe (au sens qu'a le mot dans la théorie des substitutions 

 linéaires) abélien G, lequel possède une signature, au sens que donne au 

 mol M. Jordan | Groupes ahéliens généraux contenus dans les groupes linéaires 

 à moins de sept variables (Journal de Mathématiques, 1907)]. Soient m,, ..., 

 nix, . .., m^ les entiers positifs de la signature. Alors S(a') se met sous la 

 forme 



où qx^(^x) est un Tableau à m^ lignes et m^ colonnes, constitué par des 

 S(xp('^)- Déplus, q;,ix(x) = o pour "X^lt- Etablissons, comme dans ma Note 

 précitée, les systèmes (à my termes) X),, E),, F^. Alors : 1° les formations qua- 

 dratiques y^ (a-) de F) ne dépendent que des variables x^ de X,, . .., Xx_,', 

 2° le produit d'une unité s» de E^ par une unité de Kv ne dépend que des 

 unités de E), . . ., E^, où A est le plus petit entier supérieur à [jl et à v. 



Lnp autre expression remarquable pour S(.r) résulte de la considération, 

 des Elemenlarteiler pour le faisceau pE -l- ?)(x). Supposons qu'il y ait g^ fois 

 i ' Elemenlarleil p'", 



/ / — o, I, ..., /.; m—2^pigi,p„ = p,g„ = ^',|)>|>^>. . .>/^/, ; y . — ^' -4- . . .h-^v\. 



Introduisons// nombres hy ainsi définis : la liste des //> comprend yj — y/, fois 

 l'entier y, . . .; y, fois l'entier y/, — y/,^,, . . .; p^ fois l'entier ';,,. On a, pour 



Alors S(a; ) peut se mettre sous la forme 



S(.f) = L'/).H.(-^)] (>M.", v= 1,2, .. .,/>), 



