SÉANCE DU 12 DÉCEMBRE 1910. Ill5 



à l'étude des intégrales de l'équation dillérenlielle 



d'I 'SI d'I ~ ' o 



(3) /"«o^+'/"-'n.^^+... + Bv? = o- 



B(i, B,, . . ., B^ étant des polynômes en y en général de degré r. <^)uand les 

 intégrales de l'équation (3) sont régulières au voisinage des racines a,, 

 a..,, ..., a^ du polynôme B„, on peut former au moyen d'intégrales déli- 

 nies de la forme (2) des fonctions méromorphes f{x), solutions de 

 l'équation aux différences finies, qui pour les grandes valeurs de la variable 

 sont représentées asymptotiquement [)ar des expressions de la forme 



(« 5(,..i.....,i;^...). 



J'ai cherché comment se transforment ces résultais quand il existe des 

 racines du polynôme B„ au voisinage desquelles les intégrales de l'équa- 

 tion (2) ne sont pas toutes régulières. Supposons que a soit une racine 

 double de ce polynôme; on peut en général former une solution 9( v) de 

 l'équation (3) qui, ([uand le point y tend vers le point a suivant une 



direction telle que l'argument a de v — a reste compris entre b -{- r. 



2 



.iTT 



et /> + - -)- — ^> est représentée asymplotiquciiienl par 



2 



(5) e-'-* (y — x)V[b,-^lj^ (r — y. \ + . . . ^ f>„{y — x)" +. . .], 



p ayant pour argument h. Il existe d'ailleurs (/ — i autres expressions de la 

 forme (^ô) correspondant à des valeurs nulles de la constante fl, qui, jointes 

 à l'expression (5), se permutent entre elles pour représenter asymptotique- 

 ment les solutions de (3) au voisinage du point a. .— 

 Par le point a on peut tracer une direction D divisant le plan en deux 

 régions A et B ; quand le point </ tend vers a en suivant une direclioii de la 



région A, la quaulilé e' " tend vers zéro; quand y tend vers y. suivant une 



direction de la région B, c'~" devient infini. Je considère alors un clieinin L, 

 formé d'un arc de courbe qui, passant d'un point m situé entre O et a sur la 

 droite Oa, aboutit en a suivant une direction appartenant à la région A; cet 

 arc de courbe laisse le point a d'un certain côté, à droite par exemple; je 

 considère un second chemin Lj fpii. issu du même point m et aboutissairt au 

 point a suivant la même direction, laisse le point a de l'autre côté. Ou 



C. H., lyio, 2- Semestre. (T. 151, N° 24.) I-'l^ 



