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démontre que Ton peut former deux fonctions 



/i (■»') = / y-^^' 9 ( j) dy ->r- j y-^- ' 'Lt (7) f/j, 



/.(•'^) =fr-'9iy) dy + fy ' '^J v)rf/, 



qui sont solutions de l'équation aux. différences finies, le contour L„ se com- 

 posant d'un cercle de rayon Om ayant pour centre l'origine et '1, et 'l^., 

 étant deux solutions convenablement choisies de l'équation (3). 



Ces deux solutions de l'équation aux différences finies sont aiéromorphes, 

 et leurs pôles s'obtiennent comme dans le cas où les solutions de (3) sont 

 régulières en a. Quand le point a s'éloigne à l'infini en restant à droite de 

 l'axe des ordonnées, la solution /, (a-) est représentée asymptotiquement par 

 une expression de la forme 



K y:' e 



A„ + 



La solution J\(-i:) est représentée asymptotiquement dans les mêmes 

 conditions par l'expression 



k'; 



-<t-=i^ 



{a;e-''^y- 



A, 



{xe^-'^^f 



(.re2'7t)2 



Ces deux développements asymptotiques jouent, dans la représentation 

 des solutions de l'équation aux différences finies pour les grandes valeurs de 

 .r, le même rôle que les développements de la forme (4) correspondant aux 

 racines a de B„, au voisinage desquels les solutions de (3) sont toutes régu- 

 lières et se permutent avec ces derniers pour représenter chacune des solu- 

 tions de l'équation aux différences finies quand l'argument avec lequel x 

 devient infini varie. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la condition de fermeture des systèmes 

 de fondions orthogonales. Note de M. W. Stekloff, présentée 

 par M. Émije Picard. 



Dans mon Mémoire, Sur certaines égalités générales communes à plusieurs 

 séries de fonctions, etc. (Mémoires de r Académie des Sciences de Saint- 



