SÉANCE DU 12 DÉCEMBRE IQIO. III7 



Pélersbourii, l. X\, n" 7, 1904), j ai établi un théorème, jouant un rôle 

 iaiportaul dans la théorie des systèmes de fonctions orthogonales, qui, 

 dans le cas particulier d'une seule variable x, s'énonce comme il suit : 



Théorème (A). — Soit V^(.r} (^-^ i, 2,...) une suile in/inic de fonc- 

 tions orthogonales et normales. Si t égalité de laponne 



f p{x)P^x)ctx = ^Kl B,^ f ,j(j:)V{.>)V,(.i)dx, 

 " . _ , *- " 



j»(a") étant une /onction donnée, positii'e dans l'intenalle (a, h), a lieu pour 

 tout polynôme V{x), elle aura nécessairement lieu pour toute fonction f {a) 

 inlégrable dans («, 6). 



Il est aisé de comprendre que le théorème (A) peut être remplacé par un 

 autre équivalent : 



Théorème (B). — Si l'égalité 

 (')• / i>{^^)r-{^>--)dx = ^kl, A,= p{.v)/{.v)\,(.r)dj, 



a lieu pour toute fonction f(x) admettant les dérivées de m premiers ordres, 

 continues dans (a, h), elle aura nécessairement lieu pour toute fonction f (^x^ 

 intégrable dans (a, b). 



Je vais appeler l'équation (i) l'étpialion de fermeture de la suite consi- 

 dérée de fonctions Vyi(.r) (X- = i, 2, 3, . . . ) (' ). 



(') Il importe de remarquer que la démonstration des théorèmes {\.) et {M) est toiit 

 à fait indépendante de la supposition que la suite donnée de fonctions V/,. (.{■) soit 

 fermée. 



Bien au contraire, pour s'assurer si une suite donnée de fonctions orthogonales 

 V4(.z^) est fermée ou non, il suffit d'établir que ces fonctions satisfont à l'équation (1) 

 pour toute fonction f{-x), intégrable dans l'intervalle donné, car il est aisé de com- 

 prendre que celte équation peut être considérée comme une condition nécessaire et 

 suffisante de la fermeture des fonctions \ ii{^) fini la vérifient. 



Donc les recherches de mon Mémoire, cilé au début de cette Note, contiennent la 

 démonstration du théorème suivant : 



TiiÉoRÈnE. — Toutes les suites de fondions orlltogonales, énumérées au n" 1 du 

 Mémoire^ (/uejc viens de mentionner, sont fermées. 



