IIl8 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Une démonstration du théorème (B), différente de la mienne, a été donnée 

 ensuite par M. W.-D.-A. Westfall dans sa Note On the Théorème generalized 

 Foiuier's Constants {Bidlelin of the americ. mat hem. Society, 1908). 



lui égard à rimporlance des théorèmes (A) et (B), je me permets 

 d'indiquer une démonstration nouvelle très simple et, comme celle de 

 M. ^^estfall, ne dépendant pas du théorème de Weierstrass, sur la représen- 

 tation des fonctions continues à l'aide des polynones. 



Il est aisé de s'assurer que, pour démontrer le théorème (B), il suffit 

 d'établir le théorème suivant : 



Théorème (C). — Si l'équation de fermeture a lieu pour toute fonc- 

 tion f(^x) se représentant sous la forme 



/(■î^) = ^/ a{x)dx, 



h étant une constante positive arbitraire, ;p (x) une fonction quelconque inté-' 

 grable dans (a, b), elle aura nécessairement lieu pour la fonction ^{ic). 



Voici, en quelques mots, la démonstration de ce théorème. 

 Posant 



on trouve 



/ = i 



n 

 / = i 



n 



V 



R„(,r) = F(.r) + p„(.r) ^N, (-^V.- B,) V/,(x), F(^) = cp(.r) - f{x), 



d'où 



S„=/ p{x)Y{f,(.T)ci.v= /.(.r)Fur)R„{.r)^a-+ / p(.x) p„{x) R„{.v)dx, 



*J II ^ fl " tt 



et, par suite, 



/^(■'•)p«.(-î-)'^/-i'- 



(2) v/S^u// p{x)Y-^{x)dx^sli>:,\ Si/'.^l 



Décomposons l'intervalle (a, b) en un nombre quelconque d'intervalles 

 particuliers et désignons pare, ceux de ces intervalles où l'oscillation deF(a;) 

 ne surpasse pas un nombre î, par e^ ceux où cette oscillation est plus 



