SÉANCE DU 27 DECEMBRlî 191O. 



l335 



GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur les transformai ions des surfaces 

 apjtlicables sur les surfaces du second degré. Note de M. Maubice Servant. 



( ionsidérons deux surfaces S et S, qui se correspondent par sphères tan- 

 gentes. Si /• désigne le rayon de la sphère, on aura 



.r + /c-^.r, -t- rc,. 

 r — /■(• =j, -h/r;, 



z- -h rc"^= 3, + rc\. 



En différentiant et en faisant la somme des carrés, il vient de suite 



E -4- /■' e -+--?/• D =: 1:, )- /-e, +2/D,, 



F H- ,-/ -H 2 /■ D' =: !•', -t- /•-/, -^- 2 /■ D , , Sdc^=e du- + i/dii dv -t- gdi-^. 

 G -+- r-g--^- 2 /D'zriG, + /-^, -H 2/D';, 



Ces équations sont équivalentes aux précédentes, à un déplacement près. 

 Si les deux surfaces sont isolhermiques et rapportées à leurs lignes de 

 courbure, les trois équations précédentes se réduisent à deu.x et l'élimination 

 de /• conduit à une relation qui est précisément Téquation (3) de ma Com- 

 munication du 12 décembre. Il suffit de poser 



>. = E=:G, D = 2(« -H/r), D"=2(« — Xi), >.,— F| = G, 



On a donc ainsi démontré que la transformation de M. Cuichard donne 

 immédiatement la transformation par sphères tangentes des surfaces iso- 

 thermiques spéciales reliées aux déformées des quadriques. C'est la trans- 

 formation qu'a étudiée M. Bianchien igoSet qu'il a appelée transformation 

 de M. Darboux. Inversement il est facile de voir que l'on peut déduire d'un 

 couple de surfaces do M. Blanchi deux réseaux de M. (îuichard sur une 

 certaine quadrique. 



Considérons maintenant les deux surfaces isothermicpies S et S, .de 

 M. Blanchi et cherchons les réseaux M' et M,, applicables sur une même 

 quadrique et qui leur correspondent ; on les obtiendra de la façon suivante : 



Considérons les surfaces isothermiques S' et S, correspondant à S et S' 

 par la transformation de Bour; si Ton joint les centres de courbure corres- 

 pondants des surfaces S et S', on obtiendra le point M'. 



De même on obtiendra le point M', en joignant les centres de courbure 

 correspondants des surfaces S, el S,. Les droites qui joignent les centres de 

 courbure sont les tangentes aux réseaux cycliques. Il est facile de voir que 

 ces tangentes se coupent deux à deux. Pour cela il suffit de démontrer que 



