SÉANCE DU 27 DÉCEMBRE 1910. l3'6'] 



jouent, dans la théorie des é(|ualions dinérentielles linéaires d'oidn' impair, 

 le même rôle que les noyaux symétriques dans la théorie des équations 

 dillérentieiles linéaires d'ordre pair. 



Relativement à ces noyaux, on peut établir les propriétés suivantes : 



1° Les valeurs caractérislifjues sont di's bmtiiinaires pures, car si Ton avait 

 pour une valeur caractéristique A, ^ — /.,, une fonction fondamentale rela- 

 tive devrait être orthogonale à son imaginaire conjuguée. 



0." Un noyau svrnélrique gauche a au moins deux valeurs caractéristiques, 

 comme cela résulte immédiatement de l'application du critérium pour la 

 non-existence des valeurs caractéristiques. Donc un noyau sans constante 

 caractéristique ne peut pas être symétrique gauche. 



'^" Les pôles du noyau résolvant sont simples, car à chaque solution fon- 

 damentale 9 (a*) correspond la solution fondamentale cp( a) de l'équation 

 associée, et l'on a 



o(s) o[s) ds ^o. 



h 



4° Si o(.r) est une fonction fondamentale, ^(-t) est la fonction fonda- 

 mentale associée. Il en résulte que les deux systèmes biorthogonaux du 

 noyau coïncident. 



.5" Tout noyau symétrique gauche ayant un nombre fini de valeurs 

 caractéristiques est nécessairement de la forme 



o,(jr)Œ>,(a;) !p,(j;)œ,(x) , o,,(.r) ?„(-g) o„( jc)^„(x) 



^ i = h ... — = h = > 



^'1 X, 'n A„ 



car en extrayant d'un noyau symétrique gauche les parties caractéristiques 

 conjuguées, il reste un noyau aussi symétrique gauche. 

 ()° Toute fonction /(;/-•) de la forme 



/{x)"- j S{x,s)/i{s)ds 



est développable dans une série absolument et uniformément convergente 

 de fonctions fondamentales; la fonction ft(jc) et le noyau sont des fonctions 

 à carré intégrables. 



7" Un noyau fermé a une infinité de valeurs caractérisliciues. 



Ces deux dernières propositions se démontrent aisément par une mé- 

 thode analogue à celle qu'on emploie pour le noyau symétrique; on utilise 

 pour cela l'inégalité de Bessel généralisée. 



Citons comme exemple de noyau symétrique gauche, le noyau sin//(x—j) 



avec les valeurs caractéristiques ±: -^ et les fonctions fondamentales e^". 



