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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Les formules de Frenet dans V espace fonctionnel. 

 Note de M. G. Kowalewski, présentée par M. Emile Picard. 



Les fonctions ("') dans Tintervalle (o, i ) forment un ensemble que 

 j'appelle ici V espace fonctionnel (-) R^. Chaque fonction /"(a?) est pour 

 nous un point dans cet espace. Le vecteur joignant le point ©(a;) au 

 point ^ (vt) +/{ x) est appelé le vecteur f(^x). 



L'intégrale 





(0 / Aj:)sia.-)dx = {f,g) 



est le produit intérieur des deux vecteurs ./"(.i^) et g{'i')- Us sont orthogo- 

 naux., si l'on a (/', ^ ) ^ o. 



Un vecteur /"( .t), dont la norme (y, / ) est égale à i est nommé un axe 

 dans l'espace lî,.. 



Cela posé, considérons une courbe dans no-tre espace fonctionnel. Elle 

 est représentée par une fonction ¥{x, t ) impliquant, outre la variable x, un 

 paramètre t. A chaque valeur de t répond un point de la courbe. 



Pour une telle courbe il y a un système accompagnant d'axes orthogo- 

 naux tout à fait analogue au trièdre accompagnant une courbe dans 

 l'espace ordinaire. 



Pour ce système accompagnant, nous déduirons ici des formules qui ne 

 sont autre chose que « les formules de Frenet » dans l'espace fonctionnel Rj.. 



Le vecteur qui va du point F(a;, /) au point ¥{x, t -+- h) s'exprime par la 

 série . 



^{•r,t) +— F,(J", -+-;^l%{x, 0-1-- 



où ¥i,(x, t) désigne la dérivée 



d"F(x,e) 



{')■ 



dtP 

 Nous nous limiterons au cas où les vecteurs 



(2j F,(:c, ^), l',(.r,/), . 



(') I^our plus de siniplicilé, on supposera loutes les fonctions, dans celte Note, 

 réelles et continues. 



{-) On pourrait de même considérer un espace de fonctions de plusieurs variables. 

 Alors, dans la formule (i), on aurait une intégrale multiple. 



{') Nous supposons valable le développement de Taylor. 



