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été le point de dépari d'Hcrniite : 



v = o 

 ' ilm + ll' r 9 _49 14m — ll' l 



— 4V7 " l^q *+79 ' -H. . .+ (4"' — 1)7 ' Jcos(4'«+i)^ 



m = l 



— 4V9 * I (7 * + . . . + (4w + 1)7 * J cos(4w -t- 3)a-, 



V — 



— 8 V (— i)"'7-"''[— 2q---h...-t- (—t)"'2mq-'"'']cos!imûr 



III — i 



{im + W- r _ 1 _ 12m — 1 I'' T 



+ 8V^-^J)"'^ ^ [y"^ + .. .+ (2/?i— l)(— l)'"-'f/ "^ J COS(4/H+2)j-. 



m = l 



Dans CCS forniules, H(x;), H, (s), &{z), 0,(:) sont les fonctions de 

 Jacobi; de plus 



r),z=n,(o), 9, = 0,(o), 6 = 0(0); 3 = 9?^; 



F(!N)esl le nombre des classes de formes quadratiques binaires, positives, 

 à coefficient moyen pair, de discriminant N, où les deux coefficients 

 extrêmes ne sont pas tous deux pairs; enfin, F, («) désignant le nombre des 

 classes analogues où les coefficients extrêmes sont pairs, on a posé 



J(N) = F(N)+3F,(N). 



Les classes a{x- -}- y" ) et a{'ix'^ + iiy -\- y'-) comptent respectivement 

 pour ^ et ^ 



2. Maintenant, dans la première formule fondamentale, faisons a-= -r, 



et égalons les coefficients de q^ dans les deux membres. 



On est conduit à distinguer trois cas : 



1° IN^— I (mod'i). On trouve, en utilisant la transformation du troisième 

 ordre des fonctions elliptiques, que le coefficient de q^ au premier membre 



est — J^r/, r/ désignant tout diviseur de N à conjugué impair; dès lors, il 



