SÉANCE DU i" JUILLET 1907. 7 



vient 



— 32rf=2^F[8iV-(2»H-l)2]cOs(2W-)-l)|— 2^(0, — .5). 



La dernière somme est étendue aux décompositions 2i\ = 5,0, où §, est 

 pair, impair, et o,>S; si Ton combine cette formule avec celle qu'on 

 obtient en faisant x- = o dans la [)remière relation fondamentale, à savoir 



< 



on trouve 



(2) y^F{8N-giM'-)= ^d, 



< 



(3) 2f(8N^ AM =-^^+22(8,-0); 



u. parcourant tous les entiers impairs, positifs ou négatifs, et h tous ceux de 

 ces entiers qui ne sont pas multiples de 3. De plus, u. et h sont tels que 

 8N — git-^'et 8N — A^ soient positifs. 



2° N ^4- I (mod3). On trouve de même 



(4) '^F{SN-fin ^ 2^d, 



< 



(5) 2F(8N-9,/M = -32flf+3V(^,-o); 



les quantités //, 0,, 0, [x, h ayant la même signilication que plus haut. 



3" N^o (mod3). On a des formules analogues, mais un peu plus conq^li- 

 quées; toutefois, si N, nuilliple de 3, ne l'est pas de 9, les formules (2) 

 et (3) subsistent. 



3. Faisons x = '^, puis x = o, dans la seconde formule fondamentale, et 



combinons les relations obtenues : nous arrivons, en distinguant encore les 

 trois cas de N^-i- I, —1,0 (mod3), à exprimer les deux sommes 



m = l'=0 



< < 



