SÉANCE DU l" JUILLET 1907. 



3° N^H- I (mod3), et pair. 



Les forrpules (7) subsistent. On a de plus 



^vpf^Lzi^'j^-ivrf , irf,+ ^U(N), 



(8) 



9 y 2 -. 3 



42F,('^!-^')=-i2rf,+ i2rf,+ |U(N). 



Dans (G) et (7), rappelons que k parcourt tous les entiers, positifs ou 

 négatifs, non nuilliples de 3; m parcourt tous les entiers positifs ou négatifs, 

 zéro compris; dans (H), w parcourt tous les entiers, positifs ou négatifs, tels 

 que N — co" soit multiple de 9. Enfin, les quantités sur lesquelles portent les 

 symboles F et F, ne doivent pas devenir négatives, et l'on fait F(o) = o, 



4° Reste seulement le cas de N ss+ i (mod3) et impair. Il ne paraît pas y 

 avoir alors de formules analogues à(6)ou(7); celles que nous avons signa- 

 lées plus haut et qui donnent 2J(N — 9^2^) et 2J(N — P) subsistent; une 



autre, qu'on obtient d'une manière analogue, fournit 2J( 



4. Dans tous les cas, nos formules comprennent celles qui résultent de la 

 multiplication complexe de la fonction du tétraèdre, et qu'on trouvera dans 

 l'Ouvrage classique de MM. Klein et Fricke : Sur les fonctions modulaires. 

 Ces formules, relatives aux nombres de classes où le coefficient moyen est 

 indifféremment pair ouiptipair, donnent, quelque soit N, et avec les notations 

 ci-dessus, la valeur des sommes 



(9) 2F(N-9m=) + F,(N_9/«^) + F,(/iN-9^^), ■ 



(10) 2F(N — /-M -+-F,(N-A-2) -hF,(4iN — An. 



Dans les cas de N ses— i ou o (mod3), ou de N^ -h i et pair, les for- 

 mules (1)3(7), jointes à des formules faciles à trouver par voie élémentaire, 

 et qui font connaître 1 F(8]\I + 4 — 9a") et ilF(8M -t- 4 — /*"), permettent 

 de calculer les sommes (9) et (10) ; dans le cas restant, N ss-i- i (mod3) et 

 impair, on peut effeclucr ce calcul en utilisant les formules en J, et l'on 

 retombe toujours sur les résultats de MM. Klein et Fricke. 



Au contraire, les formules déduites de la multiplication complexe ne 

 semblent pas comprendre les nôtres, même si on leur adjoint les diverses 

 relations d'un caractère élémentaire dont il a été question ci-dessus. 



Il serait bien intéressant d'étendre ces résultats en retrouvant et en com- 

 plétant, au besoin, les belles formules qu'a données M. Gierstcr sur les 



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