lo [académie des sciences. 



nombres de classes, et qui se rattachent à la fonction modulaire de l'ico- 

 saèdre. 



5. J'ai obtenu des formules d'une nature différente en partant des déve- 

 loppements en série des fonctions H-H;0, :0' et H*H,0^:0^; je n'en 

 indiquerai que deux. D'abord : 



(,0 2(-0'"F[.4N-(6.. + .n=-2^(j|^> 



< 



où N est un entier (positif) quelconque; au second membre, la somm'e 

 s'étend aux décompositions 



6N — ddi (d<d^), 



d et d^ étant de parités différentes, et un seul d'entre eux étant multiple 

 de 3 ; quant à ( -j — -j j> c'est le symbole classique de Jacobi. Et enfin : 



(12) ^(_i)mF(24N — I— 24^2)=— ^6^^ — 



m=0 

 < 



où la somme, au second membre, s'étend à toutes les décompositions 

 24N — I = -xa^ — 3b^, pour lesquelles è|>o, 2a > 3b. 



Cette dernière formule est intéressante en ce qu'il y intervient une forme 

 quadratique indéfinie, circonstance qui, je crois, ne s'est pas encore pré- 

 sentée dans les applications des fonctions elliptitjues à l'Arithmétique. 

 J'aurai à revenir plus longuement sur ce sujet, et avec d'autres exemples. 



HYDRODYNAMIQUE. — Théorie approchée de l'écoulement sur un déversoir 

 vertical en mince paroi, sans contraction latérale et à nappe noyée en 

 dessous. Note de M. J. Boussixesq. 



I. Les mêmes principes qui m'ont permis, dans une Note du 24 mars 1907 

 (Comptes rendus, p. 668), de donner une théorie approchée de l'écoulement 

 sur un déversoir à nappe libre inférieurement, s'appliquent lorsque la nappe 

 est noyée en dessous, pourvu qu'on assimile à du fluide mort, ayant sa pres- 

 sion hydrostatiquement croissante de haut en bas et donnée directement au 

 niveau du seuil, la masse liquide qui tourbillonne sous la nappe. La hauteur 

 de charge étant appelée h et le poids de l'unité de volume liquide pg, nous 



